13 maart 2014

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
College 9
13 maart 2014
Challenge the future
1
Opbouw college
Vandaag behandelen we hoofdstuk 2.8
• Voor de pauze: hoofdstuk 2.8
• Na de pauze: opgaven maken
Challenge the future
2
Herhaling
• Een lineaire combinatie van vectoren 𝒗1 , 𝒗2 , … , 𝒗𝑝 in ℝ𝑛 wordt
gegeven door 𝑐1 𝒗1 + 𝑐2 𝒗2 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝒗𝑝 .
• De set van alle lineaire combinaties van 𝒗1 , 𝒗2 , … , 𝒗𝑝 in ℝ𝑛
wordt aangeduid met Span 𝒗1 , 𝒗2 , … , 𝒗𝑝 .
• Vectoren 𝒗1 , 𝒗2 , … , 𝒗𝑝 zijn lineair onafhankelijk als de
vergelijking𝑐1 𝒗1 + 𝑐2 𝒗2 + ⋯ + 𝑐𝑝 𝒗𝑝 = 𝟎 alleen de triviale
oplossing heeft.
Challenge the future
3
𝑛
Deelruimtes van ℝ
Definitie
Een deelruimte van ℝ𝑛 is een verzameling 𝐻 in ℝ𝑛 met drie
eigenschappen:
a. De nul vector zit in 𝐻.
b. Voor elke 𝒖 en 𝒗 in 𝐻 zit de som 𝒖 + 𝒗 in 𝐻.
c. Voor elke 𝒖 in 𝐻 en elke constante 𝑐 zit de vector 𝑐𝒖 in 𝐻.
Challenge the future
4
𝑛
Deelruimtes van ℝ
Voorbeeld
𝑥3
𝒗2
𝒗1
𝑥2
𝑥1
Challenge the future
5
𝑛
Deelruimtes van ℝ
• Als 𝒗1 niet gelijk is aan 𝟎 en als 𝒗2 een veelvoud is van 𝒗1 ,
dan is Span 𝒗1 , 𝒗2 een lijn door de oorsprong. Dit is dus een
deelruimte.
Challenge the future
6
𝑛
Deelruimtes van ℝ
• Als 𝒗1 niet gelijk is aan 𝟎 en als 𝒗2 een veelvoud is van 𝒗1 ,
dan is Span 𝒗1 , 𝒗2 een lijn door de oorsprong. Dit is dus een
deelruimte.
• Een lijn die niet door de oorsprong gaat, is geen deelruimte.
Dat komt onder andere omdat de nul vector (oorsprong) er
niet in zit.
Challenge the future
7
𝑛
Deelruimtes van ℝ
• Voor vectoren 𝒗1 , … , 𝒗𝑝 in ℝ𝑛 is de verzameling van alle
lineaire combinaties van deze vectoren een deelruimte
van ℝ𝑛 .
Challenge the future
8
𝑛
Deelruimtes van ℝ
• Voor vectoren 𝒗1 , … , 𝒗𝑝 in ℝ𝑛 is de verzameling van alle
lineaire combinaties van deze vectoren een deelruimte
van ℝ𝑛 .
• De deelruimte opgespannen door 𝒗1 , … , 𝒗𝑝 wordt aangeduid
door Span 𝒗1 , … , 𝒗𝑝 .
Challenge the future
9
𝑛
Deelruimtes van ℝ
• Voor vectoren 𝒗1 , … , 𝒗𝑝 in ℝ𝑛 is de verzameling van alle
lineaire combinaties van deze vectoren een deelruimte
van ℝ𝑛 .
• De deelruimte opgespannen door 𝒗1 , … , 𝒗𝑝 wordt aangeduid
door Span 𝒗1 , … , 𝒗𝑝 .
• De deelruimte ℝ𝑛 is een deelruimte van zichzelf.
Challenge the future
10
𝑛
Deelruimtes van ℝ
• Voor vectoren 𝒗1 , … , 𝒗𝑝 in ℝ𝑛 is de verzameling van alle
lineaire combinaties van deze vectoren een deelruimte
van ℝ𝑛 .
• De deelruimte opgespannen door 𝒗1 , … , 𝒗𝑝 wordt aangeduid
door Span 𝒗1 , … , 𝒗𝑝 .
• De deelruimte ℝ𝑛 is een deelruimte van zichzelf.
• De verzameling die alleen uit de nulvector in ℝ𝑛 bestaat, is
ook een deelruimte van ℝ𝑛 . Deze heet de nul deelruimte.
Challenge the future
11
Kolomruimte matrix
Definitie
De kolomruimte van een matrix 𝐴 is de verzameling Col 𝐴 van
alle lineaire combinaties van de kolommen van 𝐴.
Challenge the future
12
Kolomruimte matrix
Definitie
De kolomruimte van een matrix 𝐴 is de verzameling Col 𝐴 van
alle lineaire combinaties van de kolommen van 𝐴.
Als 𝐴 = 𝒂1 … 𝒂𝑛 dan is Col 𝐴 = Span 𝒂1 , … , 𝒂𝑛 . De
kolomruimte van een 𝑚 × 𝑛 matrix is een deelruimte van ℝ𝑚 .
Challenge the future
13
Nulruimte matrix
Definitie
De nulruimte van een matrix 𝐴 is de verzameling Nul 𝐴 van alle
oplossingen van de homogene vergelijking 𝐴𝒙 = 𝟎.
Challenge the future
14
Nulruimte matrix
Stelling
De nulruimte van een 𝑚 × 𝑛 matrix 𝐴 is een deelruimte van ℝ𝑛 .
Anders gezegd, de verzameling van alle oplossingen van het
systeem 𝐴𝒙 = 𝟎 van 𝑚 homogene lineaire vergelijkingen in 𝑛
onbekenden is een deelruimte van ℝ𝑛 .
Challenge the future
15
Basis voor deelruimte
Definitie
Een basis voor een deelruimte 𝐻 van ℝ𝑛 is een lineair
onafhankelijke verzameling in 𝐻 die 𝐻 opspant.
Challenge the future
16
Basis voor deelruimte
Definitie
Een basis voor een deelruimte 𝐻 van ℝ𝑛 is een lineair
onafhankelijke verzameling in 𝐻 die 𝐻 opspant.
Voorbeelden
• De kolommen van een inverteerbare 𝑛 × 𝑛 matrix vormen een
basis voor ℝ𝑛 omdat ze lineair onafhankelijk zijn en ℝ𝑛
opspannen.
Challenge the future
17
Basis voor deelruimte
Definitie
Een basis voor een deelruimte 𝐻 van ℝ𝑛 is een lineair
onafhankelijke verzameling in 𝐻 die 𝐻 opspant.
Voorbeelden
• De kolommen van een inverteerbare 𝑛 × 𝑛 matrix vormen een
basis voor ℝ𝑛 omdat ze lineair onafhankelijk zijn en ℝ𝑛
opspannen.
• De identiteitsmatrix 𝐼𝑛 = 𝒆1 … 𝒆𝑛 is een inverteerbare
𝑛 × 𝑛 matrix. De verzameling {𝒆1 , … , 𝒆𝑛 } heet de standaard
basis voor ℝ𝑛 .
Challenge the future
18
Basis voor deelruimte
Stelling
De pivot kolommen van matrix 𝐴 vormen een basis voor de
kolomruimte van 𝐴.
Challenge the future
19
Basis voor deelruimte
Stelling
De pivot kolommen van matrix 𝐴 vormen een basis voor de
kolomruimte van 𝐴.
Gebruik de pivot kolommen van 𝐴 zelf voor de basis van 𝐶𝑜𝑙 𝐴
en niet de kolommen van de echelon vorm. Deze laatste
kolommen zitten vaak niet in de kolomruimte van 𝐴.
Challenge the future
20
Samenvatting
Een deelruimte van ℝ𝑛 is een verzameling 𝐻 in ℝ𝑛 met drie
eigenschappen: de nul vector zit in 𝐻, voor elke 𝒖 en 𝒗 in 𝐻 zit
de som 𝒖 + 𝒗 in 𝐻, voor elke 𝒖 in 𝐻 en elke constante 𝑐 zit de
vector 𝑐𝒖 in 𝐻.
De kolomruimte van een matrix 𝐴 is de verzameling Col 𝐴 van
alle lineaire combinaties van de kolommen van 𝐴.
De nulruimte van een matrix 𝐴 is de verzameling Nul 𝐴 van alle
oplossingen van de homogene vergelijking 𝐴𝒙 = 𝟎.
Een basis voor een deelruimte 𝐻 van ℝ𝑛 is een lineair
onafhankelijke verzameling in 𝐻 die 𝐻 opspant.
Challenge the future
21
Opgaven maken
Hoofdstuk 2.8
Opgaven: 1 – 5, 7 – 9, 11, 13, 15, 17, 20, 23, 25, 27, 30
Challenge the future
22