samenvatting

havo A Samenvatting Hoofdstuk 1
Telproblemen overzichtelijk weergeven
boomdiagram
wegendiagram
rooster maken
alle mogelijkheden systematisch uit schrijven
1.1
Hoe maak je een boomdiagram ?
1 zoek uit hoeveel takken er bij de eerste keuze horen, deze takken vertrekken
uit het beginpunt
2 zet de keuzemogelijkheden langs de takken
3 zet de volgorde achter de laatste takken
1.1
voorbeeld tenniswedstrijd 2 gewonnen sets
1e set
2e set
3e set
N-N
N wint
N wint
N-G-N
G wint
N-G-G
N wint
G-N-N
G wint
G-N-G
G wint
geef aan hoe G in 3 sets wint
G wint
N wint
N wint
G wint
G-G
1.1
Wegendiagram
kip
soep
∙
ham
∙
ijs
∙
pizza
cocktail
∙
meloen
schnitzel
2 mogelijkheden 4 mogelijkheden 2 mogelijkheden
vermenigvuldigingsregel
2
x
4
x
2
=
16
1.1
De vermenigvuldigingsregel
een gecombineerde handeling die bestaat uit
1 handeling I die op p manieren kan worden uitgevoerd
2 en handeling II die op q manieren kan worden uitgevoerd
3 en handeling III die op r manieren kan worden uitgevoerd
kan op p x q x r manieren worden uitgevoerd
1.1
Rooster maken
je gooit met een rode en een groene dobbelsteen
tel de ogen bij elkaar op, maak hiervan een rooster
som
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
1.1
Systematisch de mogelijkheden noteren
Er zijn 4 mogelijkheden om bij een worp
met vier dobbelstenen in totaal 5 te gooien.
1112
1121
1211
2111
1.1
halve competitie
je speelt maar 1x tegen elkaar
bv. hoeveel wedstrijden spelen 4 teams
4 x 3 : 2 = 6 wedstrijden
hele competitie
je speelt 2x tegen elkaar
bv. hoeveel wedstrijden spelen 4 teams
4 x 3 = 12 wedstrijden
je speelt niet tegen jezelf
A
A X
B X
C X
D X
B C D
A-B A-C A-D
X
X
X
B-C B-D
6 wedstrijden
X
X
C-D
X
A
B
C
D
A
X
B C D
A-B A-C A-D
B-A
X
C-A C-B
B-C B-D
X
D-A D-B D-C
C-D
X
12 wedstrijden
1.1
De vermenigvuldigingsregel of de somregel
kan handeling I op p manieren en handeling II op q manieren,
dan kan :
1 handeling I EN handeling II op p x q manieren
2 handeling I OF handeling II op p + q manieren
1.1
Herhaling
het is bij telproblemen belangrijk je af te vragen of herhalingen zijn toegestaan
zonder herhaling
bijvoorbeeld bij een bestuur kiezen
met herhaling
het aantal mogelijke nummerborden
1.2
opgave 29
een code bestaat uit een rijtje van
5 vierkantjes die gevuld zijn met één
van de tekens  of  of 
a 5 vierkantjes en ieder vierkantje kan 3 symbolen hebben
aantal = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 = 243
b aantal = 1 x 3 x 3 x 3 x 3 = 34 = 81
c aantal = 3 x 2 x 2 x 2 x 2 = 48
d voor het andere vierkantje zijn nog 2 mogelijkheden
dit andere vierkantje kan op 5 plaatsen voorkomen
aantal = 5 x 2 = 10
1.2
Permutaties en faculteiten
een ander woord voor rangschikking is permutatie
bij een permutatie mogen geen herhalingen optreden
het aantal permutaties van 3 uit 8, dus het aantal rangschikkingen van drie
dingen die je uit 8 kiest,
is 8 x 7 x 6
het aantal permutaties van 4 uit 9 is
9x8x7x6
het aantal permutaties van 9 uit 9 is
9x8x7x6x5x4x3x2x1
de notatie voor dit product is 9!
spreek uit : 9 faculteit
kortweg : het aantal permutaties van 9 dingen is 9!
het aantal permutaties van n dingen, dus het aantal rangschikkingen van n
dingen is n!
n ! = n x (n -1) x (n -2) x (n -3) x …… x 4 x 3 x 2 x 1
1.3
Combinaties
is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken
we van het aantal combinaties van 4 uit 7
het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als 7
4
spreek uit : 7 boven 4
het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te kiezen uit
7 dingen zonder op de volgorde te letten, is 7
4
1.3
Aantallen combinaties optellen en vermenigvuldigen
1.3
Schema
op hoeveel manieren
kun je 5 dingen
kiezen uit 8 dingen
volgorde van belang ?
nee
aantal = ‘6 boven 2’
ja
herhaling toegestaan ?
nee
ja
aantal = 8x7x6x5x4
aantal = 8x8x8x8x8
1.3
Het aantal rijtjes bestaande uit A’s en B’s
het totale aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s vind je als volgt :
B
A
B
dus er zijn 11
4
A
=
A
B
B
B
A
B
B
11 = 2048 manieren
7
er zijn twee manieren om het eerste hokje te vullen en er zijn twee manieren om het
volgende hokje te vullen, enzovoort
totaal zijn er 2 x 2 x 2 x …… x 2 = 211 = 2048 manieren
het aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s is 11 en ook 11
4
7
het totale aantal rijtjes van 11 hokjes met in elk hokje een A of een B is 211
1.4
hoeveel routes zonder omwegen zijn er mogelijk van A
naar C via B
van A naar B heb je te maken met een rijtje bestaande 1
N en 2 O’s
3 = 3 mogelijkheden
1
van B naar C heb je te maken met een rijtje bestaande uit
2 N’s en 3 O’s
dat zijn
 Noord
Routes in een rooster
A∙
∙C
∙
B
 Oost
5 = 5 mogelijkheden
2
het totale aantal manieren om van A via B naar C te gaan
is dus
dat zijn
3
1
x
5
2
= 3 x 5 = 15
van A naar B
EN
van B naar C
dus
vermenigvuldigen
1.4
Algemeen
∙
B
het aantal routes zonder omwegen van A naar B in het
rooster hiernaast
is
8
3
afspraak
in deze paragraaf bedoelen we met routes in een
rooster altijd routes zonder omwegen, we zetten dat er
meestal niet bij
A∙
1.4
De driehoek van Pascal
• in de driehoek van Pascal is elk getal gelijk aan de som van de twee getallen
die er schuin boven staan
• elk getal in de driehoek geeft het aantal routes om vanuit de top op die plaats
te komen
• in de 4e rij van de driehoek van Pascal staan de getallen
4 , 4 , 4 , 4 en 4
0
1
2
3
4
• de som van de getallen in de vierde rij is 24
rij 0
rij 1
1
rij 2
1
rij 3
rij 4
1 = 20
1
1
1
2
3
4
2 = 21
1
3
6
4 = 22
1
8 = 23
1
4
1
16 = 24
1.4