1 vwo deel 2 - Scholieren.com

3 vwo Samenvatting Hoofdstuk 3
Functiewaarden berekenen
De functie f(x) = x2 – 7 is een voorbeeld van een kwadratische functie.
Bij het origineel x = 3 hoort het beeld
f(3) = 32 – 7 = 9 – 7 = 2
Het beeld van 3 heet ook de functiewaarde van 3.
Notaties voor een functie
haakjesnotatie
f(x) = x2 – 7
formule
y = x2 – 7
3.1
Dal- en bergparabool
Een kwadratische formule heeft de vorm
y = ax2 + bx + c met a ≠ 0.
Is a een positief getal, dan krijg je een dalparabool.
Is a een negatief getal, dan krijg je een bergparabool.
Elke parabool is symmetrisch.
De symmetrieas van een parabool is de verticale lijn door de top.
3.1
Werkschema: zo ontbind je in factoren
Breng de gemeenschappelijke factor buiten haakjes
x2 + 5x = x(x + 5)
6x2 + x = x(6x + 1)
–3x2 + 12x = –3x(x – 4)
De product-som-methode
Bij x2 – 5x + 6 zoek je twee getallen
met product 6 en som –5.
Gebruik de tabel van 6.
Je ziet dat je –2 en –3 moet hebben,
dus x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3).
Bij x2 + x – 2 zoek je twee getallen
met product –2 en som 1.
Dat zijn –1 en 2, dus
x2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2)
3.2
Werkschema: zo los je een kwadratische vergelijking op
Maak het rechterlid nul.
Ontbind het linkerlid in factoren.
Gebruik: uit A · B = 0 volgt A = 0 ∨ B = 0.
opgave 45
a
x2 + 7x = 8
x2 + 7x – 8 = 0
(x + 8)(x – 1) = 0
x+8=0∨x–1=0
x = –8 ∨ x = 1
b 2x2 = 6x
2x2 – 6x = 0
2x(x – 3) = 0
2x = 0 ∨ x – 3 = 0
x=0∨x=3
3.2
Snijpunten met de coördinaatassen
Snijpunt met de x-as
De y-coördinaat is 0.
De x-coördinaat volgt uit f(x) = 0.
Dus los op f(x) = 0.
Snijpunt met de y-as
De x-coördinaat is 0.
De y-coördinaat is f(0).
Dus bereken f(0).
3.3
Grafieken en snijpunten
De snijpunten van de grafieken van de functies f en g krijg je als volgt.
• De x-coördinaat volgt uit f(x) = g(x).
• De y-coördinaat krijg je door de gevonden oplossingen bij
f(x) of bij g(x) in te vullen.
opgave 32
f(x) = g(x) geeft
x2 – 3x – 1 = –2x + 5
x2 – x – 6 = 0
(x + 2)(x – 3) = 0
x+2=0∨x–3=0
x = –2 ∨ x = 3
g(–2) = –2 · –2 + 5 = 4 + 5 = 9
A(–2, 9)
g(3) = –2 · 3 + 5 = –6 + 5 = –1
B(3, –1)
3.3
Oplossen met de abc-formule
Werkschema: zo los je met de abc-formule een kwadratische vergelijking op
1. Schrijf de vergelijking in de vorm ax2 + bx + c = 0
2. Vermeld a, b en c.
3. Bereken D = b2 – 4ac
4.
De oplossingen zijn x =
–b – D
–b + D
en x =
2a
2a
opgave 38a
3x2 – 7x + 2 = 0
a = 3, b = –7 en c = 2.
D = (–7)2 – 4 · 3 · 2
D = 49 – 24 = 25
–(–7) – 25
∨x=
2·3
7–5
x=
= ∨x=
6
x=
–(–7) + 25
2·3
7+5
=2
6
3.4
Het aantal oplossingen van een kwadratische vergelijking
De vergelijking ax2 + bx + c en de parabool y = ax2 + bx + c
discriminant
D>0
D=0
D<0
vergelijking
twee oplossingen
één oplossing
geen oplossingen
twee snijpunten
met de x-as
één snijpunt
(raakpunt) met de
x-as
geen snijpunten
met de x-as
parabool
3.4
Drie oplossingsmethoden
x2 = c
ontbinden in factoren
abc-formule
x2 = 2
x2 = 8
x 8x 8
x ≈ –2,83 ∨ x ≈ 2,83
x(x + 2) = 8
x2 + 2x = 8
x2 + 2x – 8 = 0
(x + 4)(x – 2) = 0
x = –4 ∨ x = 2
x(x + 2) = –8
x2 + 2x + 8 = 0
D = 22 – 4 · 1 · 8 = –28
D < 0, dus er zijn geen
oplossingen.
3.5