Uittreksel boek Calculus 5e editie hoofdstuk 1 t/m 4

Uittreksel Geschiedenis (nieuwe stijl)
Inhoudsopgave
1. Rekenen in vroeger tijden................................................................................................... 2
1.0 Inleiding ........................................................................................................................ 2
1.1 Egyptenaren ................................................................................................................. 2
1.2 Babyloniërs ................................................................................................................... 3
1.3 Grieken ......................................................................................................................... 4
1.4 Ons positiestelsel .......................................................................................................... 6
2. De Grieken ......................................................................................................................... 7
2.0 Overzicht Griekse wiskunde.......................................................................................... 7
2.1 Thales van Milete .......................................................................................................... 7
2.2 Pythagoras ................................................................................................................... 8
2.3 De drie klassieke problemen ....................................................................................... 10
2.4 Plato ........................................................................................................................... 16
2.5 Aristoteles ................................................................................................................... 17
2.6 Euclides ...................................................................................................................... 18
2.7 Archimedes ................................................................................................................. 21
3. Capita selecta 1................................................................................................................ 22
3.1 Pi ................................................................................................................................ 22
3.2 Derdegraadsvergelijkingen ......................................................................................... 29
4. Capita selecta 2................................................................................................................ 31
4.1 Kansrekening .............................................................................................................. 31
4.2 Niet-euclidische meetkunde ........................................................................................ 33
4.3 Georg Cantor .............................................................................................................. 34
4.4 De laatste stelling van Fermat ..................................................................................... 34
Bijlage: bespreking voorstellen Christiaan Huygens .......................................................... 35
Voorwoord
Dit is een uitgebreid uittreksel van de lesstof van Geschiedenis, nieuwe editie, hoofdstukken
1 t/m 4 van studiewijzer 683R99-405.
Succes met de module Geschiedenis van de Wiskunde.
Bert Kraai
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
1. Rekenen in vroeger tijden
1.0 Inleiding
Behalve het tientallig positiestelsel komen we in het dagelijks leven nog andere talstelsels
tegen:
 Binair stelsel (computer)
 Zestigtallig stelsel (klok), erfenis Babyloniërs vastleggen astronomische gegevens,
Grieken noemden

1
1
“pars minuta prima” (eerste kleine deel) en
“pars minuta
60
3600
secunda” (tweede kleine deel).
Minuta -> minuut, minutieus, miniscuul en Secunda -> seconde, second (E).
Romeinse cijfers (gebouwen)
1.1 Egyptenaren
http://nl.wikipedia.org/wiki/Oude_Egypte
ca. 3000 v. Chr. – 332 v. Chr.
Egypte was een paar duizend jaar voor Christus één van de centra waar wiskunde werd
beoefend. Volgens Aristoteles omdat de priesters daar veel tijd voor handen, maar Herodotus
beweert dat dit met de landmeetkunde rondom de Nijl te maken had. Landmeters =
koordspanners. De Egyptische wiskunde leefde zonder bewijzen en was gericht op de
praktische problemen rondom graan en graanschuren.
Meest bekende is de Papyrus Rhind, geschreven door van Ahmes rond 1700 v. Chr, gekocht
door Engelsman Rhind in Luxor, nu in Britisch Museum. Het bevat ongeveer 80 opgaven en
lijkt een oud rekenboekje te zijn, gebruikt bij het opleiden tot koninklijk schrijver.
Daarnaast nog 3 andere geschriften gevonden:
 Papyrus-Moskou (genoemd naar de plaats waar hij wordt bewaard), eind 19e eeuw in
handen van Russisch geleerde, bevat 30 uitgewerkte opgaven.
 Kahun, rond 1900 door een Engelsman in Kahun gekocht.
 Lederrol, op leer geschreven, bewaard in Britisch Museum.
De tekens in hiërogliefen:
1
=
|

10
=
100
=
enkele streep
paardenspan
tros touw
1000
=
gestyleerde lotusbloem
http://nl.wikipedia.org/wiki/Egyptische_cijfers
Deze tekens werden zowel van links naar rechts als rechts naar links geschreven.
De getallen zijn in het tientallig stelsel geschreven en een teken voor nul ontbreekt.
Een aftrekking werd uitgevoerd als een aanvullingsberekening of skm berekening (spreek
uit sékèm). Vermenigvuldigen bestond uit het herhaald verdubbelen van een getal en
vervolgens uit deze tabel een selectie optellen. Het blijkt namelijk dat iedere vermenigvuldiger
als een som van machten van 2 te schrijven is. Soms werd ook met 10 vermenigvuldigd, of
eerst met 10 en daarna gedeeld door 2 (= maal 5).
Een deling werd uitgevoerd als een omgekeerde vermenigvuldiging.
Bijvoorbeeld: “tel met getal1, tot je getal2 vindt” of “roep getal1 voor getal2”.
(Noot: deze werkwijze is sinds kort weer ingevoerd op de lagere scholen).
Versie 1.0
blz. 2 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
De Egyptenaar kende alleen stambreuken, dat is: breuken met teller 1.
Stambreuken werden geschreven door boven de getalswaarde van de noemer een open
mond
te zetten. Voor
1 2
3
,
en
had men aparte tekens.
4 3
4
Alle andere breuken werden opgesplitst in een som van stambreuken.
Deze splitsingen zijn geenszins eenduidig bepaald (Noot: zie inzendopgave 1b).
Bij delen van twee breuken werd, behalve achtereenvolgens met
vermenigvuldigen, soms ook achtereenvolgens met
1 1 1
, ,
enz. te
2 4 8
2 1 1
, ,
enz. vermenigvuldigd.
3 3 6
Rekenen bij de Egyptenaren had een additief karakter, d.w.z. dat de optelling de
voornaamste rekenoperatie was.
Om snel delingen van gebroken getallen uit te kunnen voeren, hebben zij 2 : n -tabellen
opgesteld, waarbij n op papyrus Rhind alle oneven getallen van 3 t/m 101 doorloopt.
In deze tabellen wordt 2 : n opgesplitst in een som van stambreuken.
De splitsingen van breuken waarbij n een drievoud is steeds uitgevoerd als
2 1
3


,
n 2n 2n
waarbij het laatste getal steeds een geheel getal is (Noot: zie oefenopgave 2).
Deze tabellen werden vooral gebruikt bij het verdubbelen van breuken.
Hiërogliefen werden gebruikt in opschriften op bijvoorbeeld stenen, het cursieve hiëratische
schrift op papyri.
Meetkunde
Goed is de berekening van de oppervlakte van een rechthoek, driehoek en trapezium, fout
die van de oppervlakte van een willekeurige rechthoek. De formule die de Egyptenaren
hanteerden voor de oppervlakte van een willekeurige vierhoek met zijden a, b, c en d is
namelijk alleen correct voor een vierkant (Noot: zie uitwerking 3).
1.2 Babyloniërs
http://nl.wikipedia.org/wiki/Babyloni%C3%AB
1800 v. Chr – 539 v Chr.
De Babyloniërs kenden een zestigtallig of sexagesimaal positiestelsel.
Voor de 1 kenden zij de “spijker”
en voor de 10 de “winkelhaak” .
Wij zijn gewend om duizendtallen te scheiden door punten en voor decimalen een komma te
plaatsen. De Babyloniërs plaatsten echter overal een spatie. Bovendien kenden zij geen
symbool voor het getal 0. Zij moesten dus uit de context de getalswaarde afleiden.
Bij het vermenigvuldigen maakten de Babyloniërs gebruik van vermenigvuldigingstafels.
Het delen werd teruggebracht tot vermenigvuldigen door het deeltal (de teller) te
vermenigvuldigen met het omgekeerde (de inverse) van de deler (de noemer). Hiervoor
stelde men inversentafels op, waarbij de inversen als opgaande sexagesimale breuken te
schrijven zijn. Niet opgaande sexagesimale breuken werden vermeden of decimaal
benaderd. Ook de uitkomst van het worteltrekken werd decimaal benaderd.
Versie 1.0
blz. 3 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
Bij het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen volgden Babyloniërs wel dezelfde
werkwijze als wij nu doen, alleen lieten zij de lettertekens voor de onbekenden weg.
Zij waren eveneens in staat om de productsom methode toe te passen voor het oplossen van
vierkantsvergelijkingen.
De meetkunde van de Babyloniërs beperkt zich tot het berekenen van lijnstukken en
oppervlakten. Daarbij maakten zij wel gebruik van de “stelling van Pythagoras”.
Bij de Babyloniërs begint een theoretische belangstelling voor mathematische problemen. De
Babylonische algebra is ver gevorderd: tamelijk ingewikkelde stelsels vergelijkingen konden
al worden opgelost. Een handicap hierbij vormt het ontbreken van een overzichtelijke
letternotatie voor de onbekenden. Bij de meetkunde worden nog geen stellingen gebruikt,
alleen berekeningen uitgevoerd.
Rond 200 na Chr. werd in de Babylonische rekenwijze met sexagesimale breuken een open
plaats tussen cijfers aangeduid met een scheidingsteken, maar aan het eind werd deze toch
weer weg gelaten.
1.3 Grieken
De Griekse astronoom Ptolemaeus heeft rond 150 na Chr. het teken O voor nul
geïntroduceerd, maar hij kreeg aanvankelijk geen navolging.
Bij de Grieken treffen we twee methoden aan om getallen te schrijven:
a. De Herodiaanse cijfers (naar geschiedschrijver Herodianus, 3e eeuw na Chr.). Dit
stelsel kent lettertekens voor | = 1,  = 5,  = 10,  = 100,  = 1000 en M = 10000.
b. Later werden aan letters van het alfabet getalswaarden toegekend.
  1,   2,   3 ,…   10, x  20,   30 enz.
Voor 10000 werd de hoofdletter M genomen; bij veelvouden hiervan werd de
corresponderende letterwaarde erboven geschreven.
Beide stelsels zijn additief.
Bij breuken werden teller en noemer apart opgeschreven (teller 1 accent, noemer 2
accenttekens) of soms boven elkaar (noemer boven, teller onder).
In het dagelijks leven was deze tweede methode bij berekeningen onbruikbaar. Vandaar dat
met liever gebruik maakte van een rekenbord, de abacus, te vergelijken met een telraam.
Rekenen op de abacus berust op het positiestelsel. Er werd gerekend in rijen met 0 t/m 9
steentjes, waarbij rechts de eenheden, en naar links respectievelijk de tientallen,
honderdtallen enz. werd aangegeven. De Grieken hebben deze positionele voorstelling van
getallen echter niet op geschreven tekens weten over te brengen.
De Romeinen schreven de getallen met de nu nog bekende Romeinse cijfers:
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500 en M = 1000. Deze cijfervoorstelling is voor het
rekenen totaal ongeschikt. Daarom gebruikten ook de Romeinen bij het rekenen de abacus.
Het Latijnse woord voor rekensteentje is “calculus”.
De Romeinen rekenen bij breuken in twaalfden.
1
12
= “uncia”,
(de eenheid) = “as”.
12
12
De namen voor de breukdelen waren terug te vinden in de wijze waarop de Romeinse
munten onderverdeeld waren.
Versie 1.0
blz. 4 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
Samengevat:
Positiestelsel?
Talstelsel
Symbool voor 0
Lettertekens
Egyptenaren
Nee, additief.
Links naar rechts of
omgekeerd.
10-tallig
Geen
Egyptische cijfers:
|,  ,
Optellen
en
10-tallig,
uitkomst in tekenwaarde
Aftrekken
Aanvullingsberekening of
skm-berekening
Vermenigvuldigen m.b.v. tabel met
verdubbelingen: iedere
vermenigvuldiger is als
macht van 2 te schrijven
Delen
Omgekeerde
vermenigvuldiging:
“Roep getal1 voor getal2”
Breuken
Stambreuken
2 : n - tabellen
Meetkunde
Praktische vraagstukken in
de landmeetkunde en
bouwkunde
Algebra
Babyloniërs
Ja. Scheiding met spaties,
plaats 0 leeg gelaten,
geen decimaalteken.
Links naar rechts.
60-tallig
Geen
Spijkerschrift:
en .
60-tallig,
positioneel
Positioneel
m.b.v.
vermenigvuldigingstafels
in 60-tallig stelsel
Vermenigvuldigen met
omgekeerde.
Inversentafels
Berekenen lijnstukken en
oppervlakten
Oplossen stelsels
vergelijkingen
Grieken
Nee, additief.
Links naar rechts.
Romeinen
Nee, additief.
Links naar rechts.
Herodiaanse cijfers:
|,  ,  ,  ,  en M.
Getalswaarden gekoppeld
aan letters uit alfabet:
 ,  ,  ,  ,…
10-tallig,
uitkomst in letterwaarde
10-tallig,
uitkomst in letterwaarde
10-tallig,
uitkomst in letterwaarde
Romeinse cijfers
I, V, X, L, C, D en M
10-tallig,
uitkomst in letterwaarde
10-tallig,
uitkomst in letterwaarde
Teller en noemer apart
opgeschreven
Zie hoofdstuk 2
Breuken in twaalfden
10-tallig,
uitkomst in letterwaarde
10-tallig,
uitkomst in letterwaarde
10-tallig,
uitkomst in letterwaarde
Zie hoofdstuk 2
Noot: zowel de Grieken als de Romeinen gebruikten in het dagelijks leven de abacus. Dit telraam is wel gebaseerd op het tientallig
positiestelsel.
Versie 1.0
blz. 5 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
1.4 Ons positiestelsel
De oudste cijfers die bekend zijn van de Hindoes in Voor-Indië stammen uit de 3e eeuw voor
Chr. Het systeem leek op dat van de Grieken: cijfers voor 1 t/m 9, de tientallen, honderdtallen
enz. Pas in de 6e eeuw na Chr. vinden we de eerste tekenen van een positiestelsel, maar het
is onduidelijk of de Hindoes zelf hier de uitvinders van zijn geweest. Op dat moment werd ook
een symbool voor de 0 geïntroduceerd. Uit de Indische cijfers zijn, via het uitgestrekte
Arabische rijk, twee cijfertypen voortgekomen: de Westarabische of Gobar-cijfers en de
Oostarabische. In de Gobar-cijfers zijn duidelijk onze eigen Arabische cijfers te herkennen.
De Oostarabische worden nog gebruikt in Turkije, Arabië en Egypte. In het uitgebreide
Arabische rijk kwamen juist de Gobar-cijfers algemeen in gebruik. Zij zijn vooral bekend
geworden door het boek Kitab al muktasar fî-hisâb al-gabr wa ‘l-mugâbara van de Arabische
schrijver Abû Abd Allah Muhammed ibn Mûsa al-Huwârizmî rond 830 na Chr.
Al-gabr is later verbasterd tot algoritme en al-Huwârizmî tot algebra.
De introductie van de 0 die enerzijds “niets” voorstelt maar anderzijds de waarde van een
getal kan veranderen in een positiestelsel, werd slechts met moeite begrepen.
De Arabieren hebben de Gobar-cijfers in Spanje geïntroduceerd. Gerbert (de latere paus
sylvester II) heeft in de 10e eeuw bijgedragen aan de invoering van de Gobar-cijfers in WestEuropa. Hij verving de losse steentjes op de abacus door schijfjes (apices) met daarop de
Gobar-cijfers. Hierdoor werd het rekenen op de abacus echter alleen maar moeizamer.
Door de schaarste aan schrijfmateriaal bleef men op de abacus rekenen en schreef men de
uitkomsten in de vertrouwde Romeinse cijfers.
Ondertussen werden de Gobar-cijfers in het Oosten al algemeen gebruikt, waarschijnlijk
doordat in Bagdad al in 794 een papierfabriek bestond, terwijl het nog tot 1154 zou duren
voor er één in Spanje uit de grond verrees.
Na het jaar 1000 ontstaat een strijd tussen twee rekenmethoden: de “abacisten” en de
“algoritmici”. In 1202 verscheen een boek van Leonardo van Pisa (ook wel Fibonacci
genoemd) dat veel invloed gehad heeft op wiskundigen en kooplieden en de verbreiding van
de Arabische cijfers heeft gestimuleerd. In 1292 heeft het stadsbestuur van Florence nog een
poging gedaan om de nieuwe cijfers tegen te houden. De voordelen (controleerbaarheid van
berekeningen) waren echter te groot en langzaam kon de methode doordringen tot in
Duitsland (1200), Frankrijk (1275) en Engeland (1300). Het duurde echter tot het midden van
de 16e eeuw voordat het pleit definitief was geslecht in het voordeel van de moderne cijfers!
Het woord “cijfer” is afgeleid van het Arabische “al-sifr”, dat “lege plaats” (op de abacus)
betekende. In het Latijn werd dit cephirum en via het Italiaanse zevero tot zéro.
Het heeft ook nog ca. 1600 geduurd voordat men de voordelen zag om breuken decimaal te
gaan schrijven. Simon Stevin (geboren 1548 in Brugge en gestorven in 1620 in Den Haag)
schreef in “De Thiende”(1585) hoe regeringen ertoe kunnen bijdragen het decimale rekenen
ingang te doen vinden en eist tegelijkertijd tiendelige munten, maten en gewichten. De
praktische doorvoering hiervan liet wachten op de Franse revolutie (1789-1799), echter niet
in alle landen (Noot: denk aan Engeland).
Versie 1.0
blz. 6 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
2. De Grieken
2.0 Overzicht Griekse wiskunde
THALES VAN MILETE
624-545 v. Chr.
PYTHAGORAS
582-496 v. Chr.
Philolaus
5e eeuw v. Chr.
HIPPOCRATES VAN CHIOS + 430 v. Chr.
Hippias van Elis
+ 425 v. Chr.
Theodorus
+ 400 v. Chr.
Theaetetus
+ 400 v. Chr.
Archytas
428-347 v. Chr.
PLATO
427-347 v. Chr.
Eudoxus van Cnidus
+410-350 v. Chr.
Menaechmus
380-320 v. Chr.
ARTISTOTELES
384-322 v. Chr.
Eudemus van Rodos
+370-330 v. Chr.
EUCLIDES
3e eeuw v. Chr.
Thales_van_Milete
Pythagoras
Philolaus
Hippocrates_van_Chios
www.pandd.demon.nl/trisect.htm#64
Archytas
Plato
Eudoxus_van_Cnidus
Menaechmus
Aristoteles
Eudemus_van_Rhodos
Euclides
De originele handschriften van deze schrijvers zijn allemaal verloren gegaan.
De informatie die wij nu nog hebben komt uit kopieën, waarvan de oudste stammen uit de
eerste eeuwen na Christus. Het zijn deze Grieken geweest die de grondslag hebben gelegd
voor onze moderne wiskunde.
2.1 Thales van Milete
Het eerste centrum van de Griekse beschaving was aan de westkust van Klein-Azië (het
Aziatische deel van Turkije). Rond 600 v. Chr. waren de Griekse nederzettingen in Milete
(Turks: Kahya) en Efeze (Turks: Efes of Selçuk) erg welvarend.
Thales was een koopman die veel heeft gereist door Egytpe en Babylonië. Over Thales wordt
verteld dat hij koning Amasis van Egypte leerde hoe hij de hoogte van een Piramide kon
bepalen, zons- en maansverduisteringen kon voorspellen en de afstand tot een object kon
bepalen.
Thales was één van de eersten die naar een natuurlijke oorzaak zocht van alle dingen. De
betekenis van Thales voor de wiskunde ligt in het feit dat hij naar een fundering van de
meetkundige stellingen zocht. Zijn “stellingen” waren:
a. In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk.
b. Bij snijding van twee rechten zijn de overstaande hoeken gelijk.
c. Twee driehoeken zijn congruent als ze een zijde en de beide aanliggende hoeken
gelijk hebben.
d. Een cirkel wordt door een middellijn in twee gelijke delen verdeeld.
e. Een omtrekshoek op een halve cirkel is recht (omgekeerde stelling van Thales).
Thales is de eerste die eigenschappen van figuren formuleert die aanschouwelijk zo
vanzelfsprekend zijn, dat Egyptenaren en Babyloniërs het niet de moeite waard vonden ze
nadrukkelijk te vermelden. Bij de Egyptenaren en Babyloniërs werd meetkunde gebruikt om iets
te berekenen, terwijl bij Thales de belangstelling uitgaat naar de figuren zelf.
Versie 1.0
blz. 7 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
2.2 Pythagoras
Pythagoras heeft waarschijnlijk zowel in Egypte als in Klein-Azië gereisd en dus zowel van de
Egyptische als de Babylonische beschaving kennis genomen. Later heeft hij zich gevestigd in
Zuid-Italië waar hij een eigen school heeft gesticht om zijn inzichten te verspreiden. Zijn leer
had een mystiek karakter, maar de grondslagen van zijn etherische leerstellingen waren
vreemd genoeg vaak van mathematische aard. Symbool: pentagram (vijfster).
1. Muziek-harmonieleer
Boethius (480-525 na Chr., Boethius, vertaler werken van Aristoteles en Plato in Latijn) vertelt
dat Pythagoras een verband zocht tussen de lengte van een snaar en de toonhoogte.
Inkorten tot 34 leidde tot een kwart toonverhoging, 23 tot een kwint, 12 tot een octaaf. Zijn
conclusie was dat de hierbij de harmonische getallen 6, 8, 9 en 12 een rol spelen. Dit was
voor hem een bewijs dat het getal een rol speelt in alle dingen waarmee je in het dagelijks
leven in contact komt. Dit leidde tot allerlei getallenspeculaties en een grote belangstelling
voor de wiskunde:
 9 is het gemiddelde van 6 en 12
 8 de harmonisch middelevenredige tussen 6 en 12, d.w.z. (8-6) : (12-8) = 6:12
 6:8 = 9:12
 6:9 = 8:12
Een kubus heeft 6 zijden, 8 hoekpunten en 12 ribben en wordt daarom door de
Pythagoreeërs een harmonisch lichaam genoemd. Dit is op zich vreemd: een muzikale
harmonie wordt gezien als een eigenschap van getallen. Overal waar dit drietal getallen
opduikt, wordt nu een soortgelijke harmonie verondersteld.
2. Geometrie
Pythagoreeërs legden ook een verband tussen getallen en geometrische figuren. Aan een
punt werd het getal 1 toegekend. Zij onderzochten nu de relaties tussen driehoekige getallen,
vierkante getallen, rechthoekige getallen, vijfhoekige getallen enz. Het blijkt dat:
 Elk rechthoekig getal het dubbele is van een driehoekig getal.
 Elk vierkant getal de som is van twee opeenvolgende driehoekige getallen.
Verder kende men aan een lijn het getal 2, aan een vlak het getal 3 en aan een ruimte het
getal 4 toe. Zo werden de getallen 1 t/m 4 de fundamentele getallen voor de geometrie.
3. Aritmetica
Derde terrein van onderzoek was van de eigenschappen van getallen zelf, de aritmetica. Het
opstellen van eigenschappen van getallen in het algemeen (hoofddoel van de rekenkunde)
stond aanvankelijk op de achtergrond. Zij zochten o.a. naar
 Volmaakte getallen (getallen die de som zijn van hun delers).
 Bevriende getallen (ene getal is gelijk aan de som van de delers van de andere en
omgekeerd).
De getallentheorie beperkte zich nog tot de theorie over oneven en even:
 De som van twee even getallen is even.
 Het product van twee oneven getallen is oneven.
 Als een oneven getal op een even getal deelbaar is, dan is het ook deelbaar op de
helft daarvan (bv. 12 : 3 -> 6 : 3).
Getallen worden gezien als het wezen van de dingen. Elk getal heeft een eigen magische
kracht en betekenis. Het getal 10 is bijvoorbeeld de som van de getallen 1 t/m 4,
de fundamentele getallen voor de geometrie en vinden we terug in het tientallig getalstelsel
van de Grieken.
Versie 1.0
blz. 8 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
4. Astronomie
De vierde wetenschap was de astronomie. Hierbij werden de getallenmystiek gebruikt om
wetmatigheden in de natuur te veronderstellen.
5. Planimetrie
De Pythagoreeërs zijn de eersten geweest die wetmatigheden in de vlakke meetkunde
(planimetrie) zijn gaan vastleggen in de vorm van stelsels vergelijkingen. Daarbij behoorde
ook de hedendaags bekende Stelling van Pythagoras. Het is echter onduidelijk wie van de
Pythagoreeërs het bewijs van deze stelling heeft geleverd.
(Noot: Stelling_van_Pythagoras en www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml voor
69 verschillende bewijzen van deze stelling.)
De ontdekking van het bestaan van irrationale getallen is catastrofaal geweest voor de
grondstelling van de Pythagoreïsche leer, die stelt dat alles tot natuurlijke getallen terug te
brengen is. In eerste instantie wist men te bewijzen dat 2 een irrationeel getal moest zijn,
op basis van de stellingen over even en oneven getallen. Theodorus wist dit rond 400 v. Chr.
uit te breiden tot 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 15 en 17 . Theaetetus vond rond 400 v.
Chr. een algemene methode om de irrationaliteit van een getal aan te tonen.
In de studiewijzer staan nog twee toevoegingen:
1. Een Pythagoreïsch drietal is een drietal positieve, gehele getallen a, b, c die op
kunnen treden als lengtes van de drie zijden van een rechthoekige driehoek.
De getallen zijn te vinden door 2 getallen p en q te kiezen en vervolgens uit te
rekenen a  p 2  q 2 , b  2 pq en c  p 2  q 2 . Getallen a,b,c waarvoor geldt dat
ggd(a,b,c) = 1 leiden tot een primitief Pythagoreïsch drietal.
(Noot: zie www.cut-the-knot.org/pythagoras/pythTriple.shtml en
www.mste.uiuc.edu/activity/triples/ voor het genereren van Pythagoreïsche drietallen.)
2. Bij rekenkundige rijen (RR) van de n-de orde moet de n-de verschilrij constant zijn. De
n-de term in een RR van de 1e orde hangt lineair af van n, bij een RR van de 2e rij
kwadratisch van n, enzovoorts.
1 2
1
Voor driehoekige getallen geldt dat de n-de term gelijk is aan
2 n  2 n.
Voor vierkante getallen geldt dat de n-de term gelijk is aan
Voor vijfhoekige getallen geldt dat de n-de term gelijk is aan
n2 .
3 2
1
2 n  2 n.
Voor zeshoekige getallen geldt dat de n-de term gelijk is aan
Enzovoorts.
2n 2  n .
Versie 1.0
blz. 9 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
2.3 De drie klassieke problemen
Introductie:
Het gemiddelde van twee getallen a en b is het rekenkundig gemiddelde
ab
.
2
Het meetkundig gemiddelde of middelevenredige van lijnstukken p en q is
pq .
De meetkundige constructie hiervan staat beschreven in de studiewijzer bij de uitwerking van
oefenopgave 14 en het bewijs bij oefenopgave 15 (hoogtelijnstelling van Euclides).
Deze constructie moet op het tentamen kunnen worden gemaakt en bewezen:
ASC is rechthoekig (volgt uit omgekeerde stelling van Thales).
Dan is BAS  BSC (beide 90o - ASB ).
Dus is ook tan BAS  tan BSC .
Hieruit volgt:
Versie 1.0
BS BC

 BS 2  AB  BC  BS  AB  BC .
AB BS
blz. 10 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
Hippocrates is één van de grootste geometers van zijn tijd geweest. Hij wordt niet gerekend
tot de Pythagoreeërs. Hij wordt gezien als de eerste grondlegger van een systematische
opbouw van de meetkunde, een werk met “elementen” zoals de Grieken dit noemden. Hij is
op weg van aanschouwelijkheid naar deductie.
Hij hield zich, net als veel andere wiskundigen in zijn tijd en in de eeuwen daarna, bezig met
de volgende 3 klassieke problemen:
1. De verdubbeling van de kubus
2. De trisectie van de hoek
3. De kwadratuur van de cirkel
DE VERDUBBELING VAN DE KUBUS (het “Delische probleem”)
Volgens een sage liet koning Minos een kubusvormige graftombe bouwen, maar toen hij hoorde
dat de tombe in elke richting 100 voet lang was, vond hij dit te klein. Hij gaf opdracht om de
tombe dubbel zo groot te maken.
Een andere overlevering vertelt dat Apollo de Deliërs (bewoners eiland Delos) door een orakel
opdracht gegeven om hun kubusvormige altaar met behoud van de vorm te verdubbelen. Toen
dat niet lukte wenden ze zich tot Plato. Die vertelde hun dat Apollo hen dit probleem had
opgegeven om hen op het belang van de wiskunde te wijzen.
Het verdubbelen van een vierkant met zijde a kan op 2 manieren worden uitgevoerd.
Stel x de lengte van de zijde van het verdubbelde vierkant.
a. Dan is x 2  2a 2  x  x  2a  a  a : x  x : 2a .
Dus is x te construeren als de middelevenredige tussen a en 2a .
b. Dan is x 2  2a 2  x 2  a 2  a 2 .
Dus is x te construeren als de hypotenusa van een rechthoekige gelijkbenige driehoek
met rechthoekszijden a .
Hippocrates probeerde analoog aan de eerste wijze x3  2a 3 te construeren door tussen de
lijnstukken a en 2a twee middelevenredigen te tekenen. Dit is te herleiden uit
a : x  x : y  y : 2a met y de diepte van een balk met lengte x en hoogte a .
Nu bleek echter dat de constructie van twee middelevenredigen met behulp van passer en
liniaal niet mogelijk was. Dus bedacht men de volgende oplossingen:
 De oplossing van Menaechmus
 De oplossing die aan Plato wordt toegeschreven.
1. De oplossing van Menaechmus (350 v. Chr.)
Uit a : x  x : y  y : 2a volgt dat x 2  ay (een parabool met de oorsprong als top en de
1 2
y (een parabool met de oorsprong als top en de x 2a
as als symmetrie-as). Snijpunt is x3  2a 3 . Projectie van dit snijpunt op de x -as levert
de lengte OS ' , de lengte van de ribbe van de gevraagde kubus.
y -as als symmetrie-as)en x 
Versie 1.0
blz. 11 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
2. De oplossing die aan Plato wordt toegeschreven
en feitelijk door Archytus is gevonden.
Ook hierbij is x de gevraagde lengte van de ribbe van de kubus met verdubbelde inhoud.
Tip: maak bij het bewijs gebruik van de hoogtelijnstelling van Euclides.
Deze bovenstaande figuur is verwerkt tot een instrumentje met een kruis AC x BD en een plaat,
waarbij de lengtes SC = a en SB = 2a vastliggen, evenals de verlengde lijnen
AB en AD. De lijn DC is evenwijdig te verschuiven en het kruis kan gedraaid worden.
Versie 1.0
blz. 12 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
DE TRISECTIE VAN DE HOEK
Een bissectrice van een hoek is eenvoudig te construeren.
Een trisectie van een hoek is daarentegen in zijn algemeenheid onmogelijk uit te voeren.
(Noot: uitzondering hierop is bijvoorbeeld een hoek van 90o opdelen in 3 hoeken van 30o, zie
ook Driedeling_van_de_hoek en www.pandd.demon.nl/trisect.htm).
Het bewijs hiervan is in 1837 geleverd door de Fransman Pierre Laurant Wantzel met behulp
van de theorie van groepen, ringen en lichamen. Grondlegger van de groepentheorie was
Evariste Galois (1811-1832).
Zie www-history.mcs.st-and.ac.uk/BiogIndex.html voor biografieën (Engelstalig)
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Wantzel.html
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Galois.html
Drie oplossingen:
 De oplossing van Archimedes
 De oplossing van Nicomedes
 De oplossing van Hippias van Elis
1. De Oplossing van Archimedes
Tip: maak bij dit bewijs gebruik van gelijkbenige driehoeken (eerst ODC en vervolgens
OBC ) en de hoekensom.
De constructie van punt D gebeurde met behulp van een inschuifliniaal, waarbij de
oplossing als het ware met inklemmen werd gevonden. Deze manier van werken noemde
men “neusis-constructie” (neusis = neiging).
Wiskundig gezien vormt de oplossingsverzameling van punten C, waarbij C op de lijn DB
ligt en DC = r een kromme met de naam conchoïde.
De gevraagde oplossing is het snijpunt van de conchoïde met de cirkel.
Versie 1.0
blz. 13 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
2. De oplossing van Nicomedes
Tip: maak ook dit bewijs gebruik van gelijkbenige driehoeken (eerst QMB en
vervolgens OBM ) en de hoekensom.
De constructie van punt Q gebeurt eveneens met een neusis-constructie.
3. De oplossing van Hippias van Elis
Applet: www.pandd.demon.nl/cabrijava/trisect_hippias_m.htm
Tip: leg de hoek op deze kwadratrix met één been op AB en de ander schuin omhoog.
Bepaal het snijpunt van de kwadratrix DE met dit tweede been en noem het snijpunt X.
Teken een lijn evenwijdig aan AB door X en noem dit punt bijvoorbeeld R.
Construeer nu AS = 1/3 van AR.
Teken een lijn evenwijdig aan AB door S.
Noem het snijpunt van deze lijn met de kwadratrix T.
Hoek BAT is nu 1/3 van de hoek BAX.
Op eenzelfde wijze is iedere gewenste opdeling van een hoek te construeren.
Versie 1.0
blz. 14 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
DE KWADRATUUR VAN DE CIRKEL
Het construeren van een vierkant dat dezelfde oppervlakte heeft als een cirkel.
In het algemeen: een figuur F kwadreren wil zeggen: een vierkant construeren dat dezelfde
oppervlakte heeft als de figuur F.
Driehoeken kunnen worden gekwadreerd door een hoogtelijn te tekenen uit één van de hoeken.
De oppervlakte van een driehoek is
1
2
bh , een zijde van het vierkant dus
1
2
b  h . Dit komt
overeen met het meetkundig gemiddelde van de halve basis en de hoogte.
Bij rechthoeken is de oppervlakte l  b , dus de zijde van het vierkant l  b . Dit komt overeen
met het meetkundig gemiddelde van de lengte en de breedte van de rechthoek.
Het kwadreren van de cirkel met straal r betekent dat we een vierkant met zijde r  moeten
construeren. Dit is een onoplosbaar probleem, zoals in 1882 werd aangetoond door Carl Louis
Ferdinand von Lindemann (1852-1939).
Het is Dinostratus (broer van Menaechmus) geweest die ca. 350 v. Chr. de cirkel kwadreerde
met behulp van de kwadratrix. De kwadratrix is als volgt gedefinieerd:
Onder de kwadratrix DE van vierkant ABCD verstaat men de meetkundige plaats van de
punten X waarvoor geldt dat XAB : DAB  XX ': DA .
Gegeven een vierkant ABCD met kwadratrix DE, dan is kwartcirkel (A, AE) gelijk aan AD.
Hieruit volgt dat AE : AD  AD : bg BD . Als we nu lijnstuk AE en AD weten, kunnen we een
lijnstuk construeren dat even lang is als bg BD.
Verleng daartoe DA, CB en DE. Noem snijpunt van CB en DE het punt G.
Teken een lijn evenwijdig aan AB door G. Deze lijn snijdt het verlengde van DA in F.
Nu geldt AE : AD = AD : bg BD
en AE: AD = FG : FD = AD : FD.
Dus: FD = bg BD, de lengte van de kwartcirkel (A, AD).
De totale omtrek p van de cirkel is 4x zo groot als de omtrek van de kwartcirkel = 4 FD .
1
1
 straal  omtrek =  r  p = 2 AD FD .
2
2
1
1
Nu geldt x 2   r  p , dus x is gelijk aan de middelevenredige tussen r en p .
2
2
En de oppervlakte van een cirkel gelijk is aan
Versie 1.0
blz. 15 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
2.4 Plato
Plato (427 – 347 v. Chr.) is een van de belangrijkste filosofen uit de bloeitijd van de Griekse
beschaving. Hij stelde vragen als: Waar hebben de wiskundigen het eigenlijk over, hoe gaan
zij te werk, met welk recht trekken zij hun conclusies, hoe vormen zij hun begrippen? Een
filosoof bedrijft geen wiskunde maar onderzoekt wat de wiskunde nu eigenlijk is.
Plato vroeg zich met name af wat het typische is van het mathematische object.
De kern van zijn antwoord was dat het mathematische object van onstoffelijke aard is. Hij
stelt daarmee als eis dat de wiskunde gefundeerd wordt en zich ontwikkelt los van het gebied
van het materiële. Dat was voor zijn tijd zeer verhelderend en heeft de wiskunde een
belangrijke impuls gegeven bij de verdere ontwikkeling.
Plato heeft veel contact gezocht met wiskundigen als Archytas, Theaetetus en Eudoxus.
Plato heeft met name stimulerend meegewerkt aan de oplossing van het Delische probleem
van de verdubbeling van de kubus. Het is Archytas geweest die hier inderdaad in is
geslaagd.
Plato is er van overtuigd dat de mens in het bezit is van kennis die hij niet tijdens zijn leven
verkregen heeft, maar al voor zijn geboorte verkregen moet hebben. Door vragen wordt dit
latente weten weer tot bewustzijn gebracht.
Hij laat aan de hand van voorbeelden zien dat tussen het gelijk-zijn en ongelijk-zijn van
stoffelijke voorwerpen een graduele overgang en geen principiële scheiding bestaat. Evenzo
ishet in de stoffelijke wereld niet mogelijk om begrippenparen als goed en kwaad, mooi en
lelijk, groot en klein strikt van elkaar te scheiden. Plato gaat er van uit dat een mens
desondanks kennis (begrip) van de concepten en het absoluut goede, schone, grote enz.
heeft. Deze ideale begrippen noemt hij ideeën en dit mondt uit in de ideeënleer van Plato.
Zijn streven is dat de mensheid zich door zeer langdurige en voortschrijdende training
losmaakt van de stoffelijke wereld om te komen tot hoger geestelijk inzicht van de ideeën.
Het beoefenen van de wiskunde ziet hij als een doelmatige vooroefening om tot hoger inzicht
te komen. Kenmerkend voor het wiskundig denkproces is, dat het zich losmaakt van de
stoffelijke, waarneembare wereld. Zo is een mathematisch vierkant het onstoffelijke, ideale
beeld wat de mens zelf heeft ontworpen. De filosoof gaat vervolgens verder om de absolute
werkelijkheid, de wereld van de ideeën te leren kennen. De mathematicus gaat zo ver niet, hij
blijft in de sfeer van het menselijke, terwijl de filosoof door probeert te dringen in de sfeer van
het goddelijke.
Een mathematicus probeert de eigenschappen van een vierkant op te sporen, terwijl een
filosoof zich afvraagt wat een vierkant nu in wezen is. Dit kan hij doen door het zelfgeschapen
beeld van een vierkant weer los te laten en de idee vierkant trachten te aanschouwen met
behulp van meditatie.
De wiskunde komt uitsluitend als gevolg van een denkproces tot stand. De waarneming speelt
geen rol bij het geven van mathematische bewijzen of het scheppen van mathematische
begrippen. Wiskunde en stoffelijke wereld houdt Plato streng gescheiden.
Versie 1.0
blz. 16 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
Bij het rekenen doen zich enkele problemen voor. Want in het gebied van het stoffelijke komt
het ondeelbare, de absolute eenheid, niet voor. Evenzo zijn stoffelijke voorwerpen ook nooit
volkomen gelijk. Daarom denkt de wiskundige zich eenheden in die van verschillen zijn
ontdaan en die ondeelbaar zijn. Als hij het heeft over een natuurlijk getal (een aantal
eenheden) dan denkt hij zich daarbij een verzameling ondeelbare eenheden in die volkomen
aan elkaar gelijk zijn.
Hoewel de filosofische en mathematische eenheid beide van onstoffelijke aard zijn, bestaat
er toch een essentieel verschil tussen. De wiskundige eenheden zijn door de mens
geconstrueerd, de filosofische ideale eenheid daarentegen heeft een bestaan onafhankelijk
van de mens.
Plato maakt in “de Staat” onderscheid tussen de zuivere en de toegepaste rekenkunde. In de
zuivere rekenkunde komen volgens Plato geen gebroken getallen voor, omdat daarin de
stambreuk als nieuwe eenheid wordt gekozen. In dit standpunt herkennen we ook een
duidelijke Pythagoreïsche invloed. Ook de Pythagoreeërs waren immers van mening dat alles
tot natuurlijke getallen te herleiden is.
2.5 Aristoteles
Aristoteles (384-322 v. Chr.) was evenals Plato een filosoof en geen wiskundige.
Plato vroeg zich af wat de aard van het object is waarmee de wiskunde zich bezig houdt.
Aristoteles vroeg zich af hoe de methode is die in het wiskundige denken gevolgd wordt. Dit
heeft geleid tot een leer betreffende de rol die axioma’s en definities spelen en van de
soorten conclusies die in een bewijs worden gebruikt.
In elke wetenschap spelen 3 bestanddelen een belangrijke rol:
1. oordelen (beweringen)
2. begrippen
3. relaties (betrekkingen)
Voorbeeld van een meetkundig oordeel:
De &#“som” van de “hoeken”# van een “driehoek”& is gelijk aan een #gestrekte “hoek”#.
Begrippen hierin zijn: som, hoek, driehoek, gestrekte, som van de hoeken,
som van de hoeken van een driehoek, gestrekte hoek.
Relatie in dit oordeel: is gelijk aan.
Aristoteles heeft in zijn filosofie een leer van het oordeel en een leer van het begrip
ontwikkeld. Een leer van de relatie is pas veel later ontworpen.
Oordelen
Tegenwoordig noemen we een mathematisch oordeel een stelling. In de wiskunde
aanvaarden we de waarheid van een stelling pas als het bewezen is. Daarbij kan gebruik
gemaakt worden van andere stellingen waarvan de waarheid al vast stond.
Er zijn echter enkele basale stellingen waarvan we de waarheid aannemen, zonder dat we
deze door een bewijs kunnen staven. Deze oordelen noemen we axioma’s.
Een wetenschap die bestaat uit een systeem van stellingen, welke uitgaande van een aantal
axioma’s bewezen worden, noemen we een deductieve wetenschap.
Aristoteles eist bij de keuze van axioma’s dat dit algemene inzichten betreft die zo evident
zijn, dat niemand ze in twijfel trekt. Aristoteles streeft er naar de axioma’s of algemene
inzichten zo te formuleren, dat ze ten grondslag liggen aan al het deductieve denken en niet
alleen maar aan de wiskunde.
Versie 1.0
blz. 17 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
Begrip
In een deductieve wetenschap stellen we tegenwoordig de eis dat elk begrip (en ook elke
relatie) gedefinieerd is uitsluitend met behulp van reeds bekende begrippen en relaties.
Aristoteles ging iets anders te werk. Hij definieerde elk begrip als een bijzonder soort van een
meer algemeen begrip. Het algemene begrip heet het genus proximum en de speciale
kenmerken differentiae specificae. Zo is een parallellogram een vierhoek (algemeen
begrip), waarbij de overstaande zijden evenwijdig zijn (speciaal kenmerk).
Op deze wijze krijgen we een classificatie van bijvoorbeeld de verschillende soorten
vierhoeken. Deze classificatie moet voldoen aan de eis dat de verschillende soorten elkaar
niet overlappen en tegelijkertijd het genus proximum geheel opdelen. Bovendien stelt hij als
eis dat aan elk van de gedefinieerde soorten ten minste één verschijningsvorm behoort. Dus
dient van elk gedefinieerd begrip steeds de existentie bewezen wordt.
Een vierkant is een bijzonder soort rechthoek, een rechthoek is een bijzonder soort
parallellogram, een parallellogram is een bijzonder soort vierhoek en een vierhoek is een
bijzondere samenstelling van 4 rechte lijnen.
In de meetkunde gaan we uit van begrippen punt en rechte lijn zonder hier een definitie van
te geven. Toch vindt Aristoteles het noodzakelijk dat ook van deze grondbegrippen de
betekenis wordt vastgelegd door middel van enkele uitspraken waarin de wezenlijke
eigenschappen ervan onder woorden gebracht worden. Hij noemt dit speciale inzichten,
omdat ze alleen in een bepaalde wetenschap van toepassing zijn.
Bijvoorbeeld: een punt in de meetkunde heeft geen afmeting, een lijn in de meetkunde heeft
geen dikte en is door twee punten bepaald.
De existentie van de grondbegrippen kunnen we niet bewijzen, deze zullen we zonder bewijs
moeten aanvaarden. Aristoteles legt dit eveneens vast met behulp van speciale inzichten,
bijvoorbeeld: in de meetkunde bestaan punten, er bestaan lijnen.
2.6 Euclides
Naar de eis van Plato om de wiskunde los te maken van het stoffelijke en dus ook van de
concrete figuren, waren de Grieken genoodzaakt de meetkunde op te bouwen op een
systeem van op axioma’s berustende stellingen. Zij noemden zo’n systeem Elementen.
Volgens Proclus zijn door Hippocrates reeds Elementen samengesteld. Ook na hem zijn
verschillende Griekse wiskundigen met een dergelijk systeem aan de slag gegaan.
De oudste Elementen waarvan de inhoud bewaard gebleven is, zijn de Elementen van
Euclides (325-265 v. Chr.). Van Euclides zelf is niet veel bekend, maar uit zijn werk blijkt dat
hij een uitstekend didacticus is geweest: hij heeft de beginselen van de meetkunde op een
heel begrijpelijke manier opgeschreven. De inhoud heeft hij waarschijnlijk voor het overgrote
ontleend aan voorgangers als Theaetetus en Eudoxus. Via de Arabieren en de Moren zijn de
Elementen in de Middeleeuwen in West-Europa bekend geworden en werden de grondslag
voor het meetkundeonderwijs.
Euclides heeft er naar gestreefd om ook aan de voorschriften van Aristoteles te voldoen.
Zo heeft hij, uitgaand van algemene inzichten (genus proximum), de speciale kenmerken
(differentiae specificae) vastgelegd. Vervolgens heeft hij de overige begrippen gedefinieerd
onder vermelding van de algemene en speciale kenmerken en de existentie ervan bewezen.
De Elementen bestaan uit 13 boeken. In de eerste 6 wordt de planimetrie besproken. Dit
komt ongeveer overeen met de lesstof voor VWO-B. De syllabus “Van Ahmes tot Euclides”
beperkt zich tot de bespreking van het eerste boek.
Versie 1.0
blz. 18 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
Euclides gaat uit van enkele algemene inzichten (= axioma’s):
 Dingen, gelijk aan hetzelfde, zijn ook aan elkaar gelijk.
 Als men bij gelijke dingen gelijke voegt, zijn de totalen gelijk.
 Als men van gelijk dingen gelijke afneemt, zijn de resten gelijk.
 Dingen die op elkaar passen, zijn gelijk.
 Het geheel is groter dan het deel.
Zijn eerste boek start dan ook met de opsomming van 23 definities. In deze definities komen
de volgende grondbegrippen naar voren: punt, lijn, rechte lijn, vlak, plat vlak en cirkel.
Vervolgens gaat hij verder met een serie definities waarin de betekenis van afgeleide
begrippen wordt vastgelegd. Opvallend daarin is dat Euclides de gestrekte hoek niet tot de
hoeken rekent; tegenwoordig doen wij dit wel.
Euclides legt aan zijn systeem 5 postulaten ten grondslag (= specifieke inzichten voor de
meetkunde):
1. Elk punt is met elk ander punt te verbinden met behulp van een rechte lijn (lijnstuk).
2. Elk lijnstuk kan verlengd worden tot een lijn.
Samengevat staat hier: door elke twee punten gaat één onbegrensde lijn.
3. Door een middelpunt en een punt op zekere afstand hiervan is slechts één cirkel te
tekenen.
Deze eerste 3 postulaten zijn existentiepostulaten.
Zij definiëren de begrippen lijnstuk, lijn en cirkel.
4. Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk.
5. Als een lijnstuk twee andere lijnstukken doorkruist en de binnenhoeken aan een
bepaalde zijde kleiner maakt dan twee rechte hoeken, dan snijden deze doorkruiste
lijnen elkaar in de richting waar deze binnenhoeken kleiner zijn.
Deze postulaten voldoen niet aan de eisen die Aristoteles stelde. Het zijn geen algemene
inzichten. Het zijn evenmin existentiepostulaten, waarin bepaalde grondbegrippen voor de
meetkunde worden vastgelegd. De reden dat Euclides ze toch als postulaat heeft
opgenomen is waarschijnlijk, omdat hij geen kans zag de juistheid ervan te bewijzen.
Dit zijn dus postulaten waarin wordt aangenomen dat meetkundige figuren bepaald
eigenschappen hebben.
Bij de opbouw van het systeem tracht Euclides te voldoen aan de eisen van Aristoteles:
a. Elke nieuwe bewering moet worden bewezen.
b. Elk nieuw begrip moet worden gedefinieerd en de existentie ervan moet worden
aangetoond.
Uit de bespreking van de eerste propositie blijkt, dat iedere getekende constructie een bewijs
is van de existentie van een gevraagde figuur. Euclides geeft beschrijvingen hoe we deze
constructie kunnen tekenen. In de lijn van Plato was het feitelijk juister geweest om deze
figuur in gedachten te nemen en steeds te constateren: “er bestaat een lijn …, een cirkel…”.
Er zijn dus twee manieren op de proposities te beschrijven:
1. Gebruik makend van existentiepostulaten: het bestaan van lijnen en cirkels.
2. Gebruik makend van liniaal en passer: het tekenen van lijnen en cirkels.
Door aanwijzingen te geven hoe een figuur met passer en liniaal getekend kan worden,
bewijst Euclides impliciet het bestaan van deze lijnen en cirkels en past hij impliciet de
existentiepostulaten toe. Er mogen echter geen andere instrumenten dan passer en liniaal
gebruikt worden, want in de existentiepostulaten wordt alleen het bestaan van rechte lijnen
en cirkels gepostuleerd.
Versie 1.0
blz. 19 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
Samengevat:
Aristoteles
Axioma’s = algemene inzichten.
Basale stellingen, waarvan we de waarheid
aannemen, zonder ze te kunnen bewijzen.
Speciale inzichten.
Basale stellingen die alleen gelden voor een
bepaalde wetenschap.
Vastleggen door benoemen wezenlijke
kenmerken
Begrippen
Maken gebruik van algemene of speciale
inzichten.
Afgeleide begrippen verwijzen naar een
grondbegrip (genus proximum) en
beschrijven specifieke kenmerken
(differentiae specificae).
Classificaties:
 Delen genus proximum geheel op
 Geen overlap tussen subklassen
 Iedere subklasse heeft tenminste één
verschijningsvorm.
Stellingen = oordeel over een relatie tussen
de begrippen.
Euclides
Maakt gebruik van enkele algemene
inzichten die hij echter niet expliciet
benoemd.
3 existentiepostulaten
Definiëren enkele basale afhankelijkheden
tussen punt, lijnstuk, lijn en cirkel.
Postulaten 4 en 5 zijn feitelijk stellingen
zonder bewijs.
23 grondbegrippen en daarvan afgeleide
begrippen. Definiëren onder andere:
punt, lijn, rechte lijn, vlak, plat vlak en cirkel.
Daarnaast een reeks afgeleide begrippen.
Proposities = mathematisch oordeel
Het bewijs maakt gebruik van:
 Algemene inzichten
 Speciale inzichten
 Begrippen
 Eerder bewezen stellingen.
Regelmatige veelvlakken
Euclides sluit zijn Elementen af met de opmerking dat er slechts vijf regelmatige veelvlakken
bestaan: tetraëder (piramide), hexaëder (kubus), octaëder, dodecaëder en icosaëder. Hij
toont eerst de existentie aan door aanwijzingen te geven hoe men deze regelmatige
veelvlakken moet construeren en bewijst als volgt dat dit de enige vijf zijn:
 Er bestaat geen regelmatig veelvlak met twee hoeken of twee vlakken.
 Met 3 regelmatige driehoeken (3*180o/3=3*60o) kun je een hoekpunt van een
tetraëder (piramide) construeren,
met 3 regelmatige vierhoeken (3*360/4=3*90o=270o) een hoekpunt van een hexaëder
(kubus) en
met 3 regelmatige vijfhoeken (3*540o/5=3*108o=324o) een hoekpunt van een
dodecaëder.
 Het is niet mogelijk een regelmatig veelvlak met 3 regelmatige zeshoeken
(3*720/6=3*120o=360o) te construeren, omdat hoekpunt in de ruimte alleen met
hoeken kleiner dan 360o te construeren zijn. Om dezelfde reden vallen ook
regelmatige veelvlakken met meer dan 6 hoekpunten af.
Zie Regelmatig_veelvlak.
 Door 3 regelmatige driehoeken wordt de hoek van een tetraëder (piramide) omspannen.
 Door 4 regelmatige driehoeken wordt de hoek van een octaëder omspannen.
 Door 5 regelmatige driehoeken wordt de hoek van een icosaëder omspannen.
 Door 3 regelmatige vierhoeken wordt de hoek van een hexaëder (kubus) omspannen.
 Door 3 regelmatige vijfhoeken wordt de hoek van een dodecaëder omspannen.
Versie 1.0
blz. 20 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
Volmaakte getallen
Volmaakte getallen zijn getallen die gelijk zijn aan de som van hun delers.
De eerste 4 volmaakte getallen zijn 6, 28, 496 en 8148. Zie Perfect_getal.
Er geldt namelijk dat als 2n1  1 een priemgetal is (om precies te zijn: een Mersenne
priemgetal), dan is 2n 2n1  1 een volmaakt getal. Anders geschreven:



 2
Stelling Euclides: Als 2n 1  1 
n
een priemgetal is, dan is 2n 
i
i 0
n
2
i
een volmaakt getal.
i 0
Bewijs:
Stel dat v  2 n 
n
2
n
i
met
i 0
2
i
een priemgetal.
i 0
Dan geldt dat delers van v zijn:
n
2
n
i
n
en 2 ;
2   2 en 2
1
i
i 0
i 0
n1
; 2 
2
n
2
i
en 2
n 2
enzovoorts tot 2 
n
i 0
n
2
i
en 1.
i 0
Bij het sommeren van de delers nemen we 1 wel mee, maar v  2 n 
n
2
i
zelf niet:
i 0
1  2  4  ...2   2  1  2  4  ...2    2
n
n 1
i
i 0
n
n
2  2
1
n
n
i
i 0
i 0
n
i
 2 n   2i  v . QED.
i 0
Het omgekeerde van deze stelling van Euclides is nooit bewezen. Wel heeft Leonhard Euler
(1707-1783) aangetoond dat alle even volmaakte getallen van de vorm 2n 
n
2
i
zijn en dat
i 0
n
daarbij
2
i
een priemgetal is. Tot op heden zijn er nog geen oneven volmaakte getallen
i 0
gevonden. Evenmin is bewezen dat er geen oneven volmaakte getallen bestaan.
2.7 Archimedes
Archimedes (287-212 v. Chr.) wordt door velen gezien als de grootste wiskundige aller tijden.
Omdat hij na Euclides leefde wordt hij in de syllabus van Ahmes tot Euclides niet besproken.
In de volgende hoofdstukken komen we hem echter nog regelmatig tegen.
Zie ook Archimedes.
Versie 1.0
blz. 21 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
3. Capita selecta 1
3.1 Pi
Hieronder volgt een samenvatting van het Zebra-boekje “Pi, de geschiedenis en de wiskunde
van eht getal  ” van Frits Beukers.
1. Inleiding
§ 1.1 Wat is  ?
Definitie: het getal  is het getal dat we krijgen wanneer we de omtrek van een cirkel delen
door de diameter van die cirkel.
Oftewel: omtrek =  x diameter. De diameter is 2x de straal r , dus: omtrek = 2  r .
Verder geldt dat de oppervlakte van een cirkelschijf met straal r gelijk is aan  r 2 .
De oppervlakte van een bol met straal r is gelijk aan 4 r 2 .
De inhoud van een bol met straal r is gelijk aan
4 3
r .
3
De notatie  is afkomstig van Euler die de  gebruikte omdat dit de Griekse letter “p” is en
gezien kan worden als afkorting voor “perimeter”, oftewel: omtrek.
De waarde van pi:
 In de tijd van koning Salomo werd het getal 3 gebruikt (1 Koningen 7 vers 23).

2000 v. Chr. dachten de Babyloniërs dat dit 3
1
 3,125 was.
8
2






 16 
1650 v. Chr. dachten de Egyptenaren dat het    3,16049 was.
 9
10
1
250 v. Chr. rekende Archimedes uit dat  tussen 3
en 3 moest liggen.
71
7
1
De Romeinen hanteerden rond het begin van de jaartelling weer 3  3,125 . Zij
8
brachten ook Archimedes om het leven bij de verovering van Syracuse in 212 v. Chr.
1610 n. Chr. wist Ludolph van Ceulen met behulp van de methode van Archimedes
met de hand  tot op 35 decimalen nauwkeurig te berekenen.
In de 17e eeuw werd de differentiaal- en integraalrekening ontdekt door Newton en
Leibniz. Nu kon men  vrij snel tot hoge precisie uitrekenen.
Sinds de komst van de computer in de 20e eeuw heeft men het getal  tot op vele
miljarden decimalen uit kunnen rekenen. Het huidige record staat op naam van
Japanner Yasumasa Kanada die in 1999 claimde dat hij 206 miljard decimalen had
berekend.
Versie 1.0
blz. 22 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
De methode van Archimedes
§ 2.1 Regelmatige veelhoeken
Archimedes gebruikte de methode van inklemmen om de waarde van  te benaderen. Hij
gebruikte daarbij twee soorten regelmatige veelhoeken van de cirkel:
 Ingeschreven veelhoek met hoekpunten op de cirkel
 Omgeschreven veelhoek waarbij de zijden de cirkel raken.
Nu geldt: omtrek ingeschreven veelhoek <  < omtrek omgeschreven veelhoek, oftewel:
PN    QN , waarbij N het aantal hoeken van de veelhoek is. Archimedes startte met een
regelmatige 6-hoeken, om vervolgens steeds het aantal hoeken te verdubbelen. Bij N  96
constateerde hij dat 3,1408    3,1429 .
Archimedes gebruikte de volgende formules voor de berekening van P2 N en Q2N :
Q2 N 
2 PN QN
en P2 N  PN Q2 N . De afleiding hiervan staat in opgave 2.3.2 en 2.3.3.
PN  QN
§ 2.2 Geschiedenis rond Archimedes’ methode
Dat Archimedes niet verder is gekomen, komt vooral door de getalsnotatie van de Romeinen
die berekeningen erg omslachtig maakte. Datzelfde gold ook voor de Griekse notatie. Het zijn
dan ook de Chinezen geweest die met behulp van de decimale getalsnotatie in de 5e eeuw
na Christus het getal  tot op 6 decimalen nauwkeurig benaderden. Zij deden dit nog wel in
de vorm van een breuk:
355
.
113
Rond 1450 vond de Islamitische geleerde Al-Kashi de waarde van  tot op 15 decimalen.
In 1610 n. Chr. wist de Duitse Ludolph van Ceulen, hoogleraar in Leiden, met behulp van de
methode van Archimedes  maar liefst 35 decimalen te berekenen. In Duitse teksten werd
daarom vroeger het getal  “die Ludolphse Zahl” genoemd.
Zijn opvolger Willibrords Snellius (1580-1626) wist door een aantal slimme observaties een
efficiëntere rekenmethode te vinden, waardoor hij het juiste aantal decimalen al snel kon
verdubbelen.
De afmetingen van de cirkel en bol
§ 3.1 De oppervlakte van een cirkel
De formule voor de oppervlakte van een cirkel 2 r is eenvoudig te herleiden vanuit de
oppervlakte van een omgeschreven veelhoek (hoeft geen regelmatige veelhoek te zijn).
Door deze veelhoek op te delen in driehoeken waarbij voor iedere driehoek geldt dat de
1
 basis  hoogte , ontstaat de formule:
2
1
oppervlakte omgeschreven veelhoek =  (omtrek omgeschreven veelhoek)  straal .
2
oppervlakte gelijk is aan
Door de limiet te nemen op het aantal hoeken ontstaat
1
1
 (omtrek cirkel)  straal=  2 r  r   r 2 .
2
2
Versie 1.0
blz. 23 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
§ 3.2 De inhoud van een kegel
De inhoudsformule van een kegel is
1
1
 (oppervlakte Grondvlak)  hoogte=  G  h .
3
3
In dit boekje wordt de vorm van het grondvlak vrijgelaten (hoeft geen cirkel te zijn) en hoeft
ook de top niet loodrecht boven het midden van het grondvlak te staan.
De enige manier om deze formule aan te tonen, is met behulp van een limietberekening.
In dit boekje gebeurt dit door hoogte van de de kegel te vergroten met een factor  .


Er geldt dan voor de toegevoegde plak dat:    1 hG   3  1 V     1  2 hG .


Delen door   1 geeft hG   2    1 V   2 hG
Laten we nu  naar 1 naderen dan resulteert dit in hG  3V  hG , dus is V 
1
Gh .
3
§ 3.3 Van inhoud kegel naar inhoud bol
Met de inhoudsformule van een kegel hebben we, dank zij een ingeving van Archimedes,
meteen de inhoud van een bol gevonden. Archimedes maakte daarbij gebruik van een halve
bol en een omgekeerde ronde kegel, waarbij blijkt dat bij horizontale doorsnijding op dezelfde
hoogte z , de som van de oppervlakte van beide figuren gelijk is aan  r 2  z 2   z 2   r 2 .


Dit betekent dat de som van de inhouden van een halve bol en een kegel samen gelijk is aan
de cilinderinhoud, te weten: r   r 2   r 3 .
1
3
De inhoud van de halve bol wordt daarmee  r 3  (inhoud kegel) =  r 3  r   r 2 
De inhoud van de hele bol is 2 keer zo groot als van een halve bol, dus
2 3
r .
3
4 3
r .
3
§ 3.4 De oppervlakte van een bol
Om de inhoud van een bol te bepalen, gebruiken we omgeschreven veelvlakken: veelvlakken
waarvan ieder vlakje aan de bol raakt. Elk van de grondvlakjes van deze veelvlakken kunnen
we nu zien als een kegel met als oppervlakte
1
1
Gh  Gr . Door weer de limiet te nemen op
3
3
het aantal veelvlakken, nadert de oppervlakte van het grondvlak van alle kegels samen de
oppervlakte van de bol. We weten nu dat
inhoud bol 
Versie 1.0
1
4 3 1
r  oppervlakte bol 
 r  r  Opp.bol  Opp.bol  4 r 2
3
3
3
blz. 24 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
De eerste formules voor 
§ 4.1 De formule van Viète
De waarde van  kan benaderd worden door een recursief procédé, het herhaald uitvoeren
van dezelfde stap. Bij Archimedes bestaat deze herhaalde stap uit het bepalen van P2 N en
Q2N uit PN en QN .
Er bestaan ook rechtstreekse formules voor  , maar deze bevatten allemaal een limiet.
Bij de verschillende formules voor  draait het om de snelheid waarmee we de limiet de
waarde van  benadert. Viète (1540-1603) deed dit met het volgende oneindige product:
2


2 2 2 2 2 2


 ...
2
2
2
Bewijs
 x
x
x
x
x
x
sin x  sin  2    2sin   cos    4sin   cos   cos  
 2
2
2
4
4
2
x
x
x
x
 x 
 x
 x
 x 
 8sin   cos   cos   cos    ...  2k sin  k  cos   cos   ...cos  k 
8
8
4
2
2 
2
4
2 
k
sin x 2
 x 
 x
 x
 x
Links en rechts delen door x geeft:
 sin  k  cos   cos   ...cos  k
x
x
2 
2
4
2
2k
 x
Omdat lim sin  k
k  x
2

  lim
 k 

.

 2   lim sin t  1 ontstaat bij het nemen van de limiet:
sin x
x
2k
k
t 
t

sin x
2
 x
 x
 x
 x
 x
 x
 cos   cos   cos   ... Invullen x 
 cos   cos   cos   ...
levert:
2
x

2
4
8
2
4
8
Nu geldt:
 cos x 
2
2
1
x
 x

 1  cos 2 x   cos  2    2  cos   1 
2
2
 2

2
x
x

2 cos x   2 cos   2  2 cos  2  2 cos x
2
2




geeft 2cos  2  2cos  2
2
4
2



Invullen x 
geeft 2cos  2  2cos  2  2 enzovoorts. QED.
4
8
4
Invullen x 
Voordeel van de formule van Viète is de convergentie.
Na 10 factoren is de overeenstemming tot op 6 decimalen.
Met iedere volgende 10 factoren neemt de precisie toe met nog eens 6 decimalen.
Nadeel is de herhaalde worteltrekking.
Versie 1.0
blz. 25 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
§ 4.2 De formules van Wallis en Leibniz
Wallis (1616 –1703):
Leibniz (1646 –1715 ):
  2
22 44 66


 ...
1 3 3  5 5  7

1 1 1 1 1
    
...
4 1 3 5 7 9
Beide formules blinken uit om hun eenvoud. Nadeel is de ontzettend langzame convergentie.
§ 4.3 Een reeks van Newton
Newton (1643 – 1727)

6

 1 3 ...   2k  1
1 1 1 1 
1
1 
    3   ...  

 2 k 1   ...
 2  4 ...   2k  2k  1 2

2 2 3 2 


Bijzonder aan de reeks van Newton is het ontbreken van worteltrekkingen en de gunstige
convergentie: na 10 termen 4 decimalen correct, na 15 termen al 33 correcte decimallen.
Deze gunstige convergentie wordt bereikt door de exponentiële functie in de noemer.
Moderne methoden
§ 7.2 De methode van Gauss-Salamin-Brent
Guass (1777 – 1805) is één van de ontdekkers geweest van de niet-vlakke meetkunde en
bedacht al op 18-jarige leeftijd een constructie voor de regelmatige 17-hoek met passer en
liniaal.
Gauss ontdekte dat het aritmetisch-geometrisch gemiddelde (het gemiddelde van het
aritmetisch (= rekenkundige) gemiddelde en het geometrisch (= meetkundig) gemiddelde)
exponentieel naar het eindresultaat convergeert.
§ 7.3 De methode van Ramanujan-Chudnovsky
Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920) is een geniale wiskundige uit India, die met zeer weinig
vooropleiding verbluffende resultaten wereldkundig maakte. Hij schreef dit toe aan Goddelijke
inspiratie van een Hindu godin. Zijn formule
1


8   4k  ! 1103  26390k

levert een

9801 k 0  k !4
3964 k
zeer snelle convergentie.
In 1994 ontdekten de gebroeders David en Gregory Chudnovsky de formule
1


 12  1 
k 0
k
 6k !  12591409  545140134k
3
6403203k 3/ 2
 3k ! k !
en bouwden een eigen computer om 
tot op 4 miljard decimalen te berekenen.
Op dit moment is het record in handen van de Japanner Yasumasa Kanada, die in 1999 zo’n
200 miljard decimalen wist te berekenen. Probleem bij deze recordberekeningen is het
geheugenbeslag van het aantal decimalen.
Versie 1.0
blz. 26 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
§ 7.4 De formule van Simon Plouffe
Op 29 september 1995 om 0u29 ontdekten Simon Plouffe samen met Peter Borwein en
David Bailey met behulp van Derive op experimentele wijze de volgende formule:

1
k
k  0 16
 
2
1
1 
 4




 . Het bijzondere aan deze formule is, dat hij ons
 8k  1 8k  4 8k  5 8k  6 
in staat stelt om één bepaald tweetallig cijfer van  te berekenen, zonder alle voorafgaande
cijfers te kennen.
Is  een breuk?
§ 8.1 Irrationaliteit
In 1768 slaagde de Zwitserse wiskundige Lambert (1728-1777) er in om te bewijzen dat 
irrationaal is.
§ 8.2 Kwadratuur van de cirkel
2 is een oplossing van de vergelijking x 2  2  0 . 2 is een algebraïsch getal.
De vraag rijst of  ook een oplossing is van een n-de graads vergelijking. In 1882 slaagde de
Duitse wiskundige Ferdinand von Lindemann (1852-1939) er in te bewijzen dat dit niet zo is.
Conclusie:  is een transcedent getal. Hiermee werd meteen de onmogelijkheid aangetoond
van de kwadratuur van de cirkel: de constructie van een vierkant met dezelfde oppervlakte
als een cirkel.
Versie 1.0
blz. 27 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
 -wetenswaardigheden
§ 9.1  -Mania
Wetenswaardigheden
 Johann Heinrich Lambert bewees in 1761 dat  een irrationaal getal is. Dat wil
zeggen dat het niet als de ratio van twee gehele getallen kan worden geschreven. In
1882 bewees Ferdinand Lindemann zelfs dat π een transcendent (ofwel nietalgebraïsch) getal is. Dat betekent dat er geen polynoom met gehele coëfficiënten
bestaat met π als nulpunt. Daardoor is het onmogelijk om in een eindig aantal
stappen met passer en liniaal een vierkant te construeren waarvan de oppervlakte
gelijk is aan een gegeven cirkel. De reden is dat alle punten die met passer en liniaal
bereikt kunnen worden speciale algebraïsche getallen zijn.
Bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Pi_(wiskunde) .

 is een transcendent getal, dat wil zeggen dat  niet te schrijven is als een
oplossing van een vergelijking an x n  an 1 x n 1  ....  a1 x  a0  0 met ai  Z .
Bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Transcendent_getal.

In 1987 diende de Amerikaanse amateur wiskundige E.J. Goodwin uit Solitude,
Indiana een wetsvoorstel in om vast te leggen dan   3, 2 .

Mensen maken er een sport van om zoveel mogelijk decimalen uit hun hoofd te leren.
In 1995 wist de Japanner Hiroyki Goto 42000 decimalen uit het hoofd voor te dragen.
Deze sport, Piphilologie, maakt gebruik van de resultaten van linguïstisch onderzoek
(filologie) naar het onthouden (mnemoriseren).
(NB: Japanner Akira Haraguchi, claimde in 2005 dat hij zelfs in staat was om de
eerste 83431 decimalen op te dreunen. Bron:
http://en.wikipedia.org/wiki/Pi#Memorising_digits ).

Op  -dag, 14 maart, wordt wereldwijd op verschillende wiskundeafdelingen van
universiteiten feest gevierd. π-dag wordt op 14 maart gevierd, omdat in de
Amerikaanse schrijfwijze voor data 14 maart geschreven wordt als 3/14 en de
driecijferige benadering voor π 3,14 is. Deze dag wordt op verschillende manieren
gevierd. Zo staan sommigen stil bij de rol die π in hun leven gespeeld heeft en
proberen zich een wereld zonder π voor te stellen. De viering begint gewoonlijk om
13:59 uur (1:59 PM), omdat de zescijferige benadering van π 3,14159 is.
Bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Pi_(wiskunde)
Open vragen
 Men vermoed dat in de decimale ontwikkeling van  elke eindige rij getallen oneindig
vaak voorkomt. Als dit zo is, dan zou  een “normaal” irrationaal getal zijn.
Dit is echter wat lastig om te bewijzen…
Records
 Kanada claimde in 2002 dat hij 1.241.100.000.000 (meer dan 1 biljoen) decimalen
gevonden heeft. Bron: http://en.wikipedia.org/wiki/Pi en
http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_numerical_approximations_of_%CF%80
Versie 1.0
blz. 28 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
3.2 Derdegraadsvergelijkingen
In 1545 schreef de Italiaan Girolama Cardano het Latijnse boek Ars Magna, wat Grote Kunst
betekent. Dit boek werd in 1968 vertaald in het Engels en bevat oplossingen van derde- en
vierdegraads vergelijkingen. Hij zou deze oplossingen min of meer gestolen hebben van
Tartaglia, de Stotteraar.
De Babyloniërs waren al in staat om vierkantsvergelijkingen op te lossen:
Syllabus Ahmed tot Euclides blz. 37.
Wij zijn m.b.v. kwadraatafsplitsen in staat om alle vierkantsvergelijkingen op te lossen:
2
2
b
c
b   b 
c

ax  bx  c  0  a  0  x  x  
 x

    
a
a
2a   2a 
a

2
2
b  b 2  4ac
b  b 2  4ac
b 2  4ac
b

 x

 x
x
 
2a 
4a 2
4a 2
2a
2a

2
Voor derde- en vierdegraads vergelijkingen bestaan eveneens formules. Niels Hendrik Abel
(1802-1829) heeft aangetoond dat er voor vijfdegraads vergelijkingen geen wortelformule kan
bestaan. Evariste Galois (1811-1832) deed dit voor alle vergelijkingen van graad 5 of hoger.
De algemene vorm van een derdegraads (kubische) vergelijking is: x 3  ax 2  bx  c  0 .
De eerste stap is om deze vergelijking te herschrijven tot de vorm y 3  py  q  0 door
1
3
1
3
2
substitutie x  y  a . Dit levert p   a  b en q 
3
3
Cardano vond dat als u  v  q en uv 
2 3 1
a  ab  c (zie oefenopg. 6).
27
3
1
p , dan is x  u  v een oplossing van
3
x3  px  q  0 . Immers: substitutie levert:
u  v 
3
 3uv  u  v   u 3  v 3  u 3  3u 2v  3uv 2  v 3  3u 2v  3uv 2  u 3  v 3  0 .
Om een oplossing te vinden voor x3  px  q  0 moeten we dus het volgende stelsel
u 3  v3  q

oplossen: 
1
uv  p
3


2
3
2
3
q
1  1  3 q
1  1 

3
   q  p ,
  q  p
Cardano vond dat dit geldt voor  u , v  

2
2
2  3 
2  3 

2
De formule van Cardano wordt dus x  3 
Versie 1.0
3
2
3




q
q
1  1 
1  1 
  q  p  3   q  p .
2
2
2  3 
2  3 
blz. 29 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
Kennelijk heeft iedere derdegraads vergelijking minimaal één oplossing. Als we één
oplossing hebben gevonden, kunnen we de vergelijking ontbinden in factoren (met behulp
van een staartdeling), waarbij ook een tweedegraads vergelijking ontstaat. We krijgen nu een
zogenaamde factorstelling, met een eerstegraads en een tweedegraads vergelijking.
Een eerstegraads vergelijking heeft altijd 1 oplossing.
Van tweedegraads vergelijkingen weten we dat deze 0, 1 of 2 oplossingen kunnen hebben.
Conclusie: derdegraads vergelijkingen hebben 1, 2 of 3 oplossingen.
De discriminant D bepaalt het aantal reële oplossingen.
Voor de vergelijking x3  px  q  0 is dit het getal
1 2 1 3
q 
p .
4
27
Dit is het getal onder het binnenste wortelteken.
Als D = 0
De formule van Cardano levert in dit geval als oplossing voor x3  px  q  0 :
q
q
q
q
x  3   0  3  0  2 3 . Na factorstelling vinden we ook x  3 .
2
2
2
2
Als D > 0
Nu is er slechts één oplossing. Om dit te bewijzen, onderscheiden we 3 gevallen:
 p=0
Nu geldt dat x3  q  0  x  3 q .


p>0
Nu geldt dat f ( x)  x3  px  q  f '( x)  3x 2  p. f '( x)  0 x  R , dus f stijgt
op het hele interval en heeft slechts één snijpunt met de x –as.
p<0
p
p
 x  .
3
3


p
2
p
f ( x) heeft een maximum bij  x, y     
,

p


q
 en

3
3
3




p
2
p
,
p


q
een minimum bij  x, y    


3
3
3


f ( x)  x3  px  q  f '( x)  3x 2  p. f '( x)  0  x 2  
Bewijs dat er slechts één oplossing is:
1 2 1 3
4 3
4 3
4 3
q 
p  0  q2  
p  q 
p  q 
p 
4
27
27
27
27
2
p
2
p
2
p
2
p
p 
 q p 
  p  q0  p  q 0
3
3
3
3
3
3
3
3
Oftewel: het maximum is negatief, dus beide toppen onder de x -as OF het minimum
is positief, dus beide toppen boven de x –as.
q
Als D < 0
In dit geval zijn er 3 oplossingen. Bij het toepassen van de formule van Cardano krijgen we
echter wel met negatieve wortels te maken, dus complexe getallen. Desondanks blijkt dit te
leiden tot 3 verschillende reële oplossingen. Het is Rafael Bombelli geweest, die dit in 1572 in
zijn boek Algebra heeft uitgewerkt.
Versie 1.0
blz. 30 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
4. Capita selecta 2
4.1 Kansrekening
Cardano (1502-1576), arts, was daarnaast tevens wiskundige, natuurkundige en geoloog.
Rond 1560 schreef hij het boekje “Liber de Ludo Aleae” (boek over de kansspelen). Dit
boekje van 15 blz. werd pas in 1663 uitgegeven.
Het jaar 1654 wordt door velen gezien als het geboortejaar van de kansspelen. Toen wendde
Chevalier de Méré, filosoof en schrijver aan het hof van Lodewijk XIV, zich tot de wiskundige
Blaise Pascal met de volgende twee kanstheoretische problemen:
1. Wat is waarschijnlijker: na 4 worpen met 1 dobbelsteen minstens één 6 of
na 24 worpen met 2 dobbelstenen minstens eenmaal dubbel 6?
2. Een munt wordt herhaaldelijk geworpen. Bij kop krijgt speler A een punt, bij munt
speler B. Wie het eerst 5 punten heeft behaald, wint de inzet. Nu heeft A na 7 worpen
4 punten en B 2 punten. Men stopt met spelen. Hoe moet de inzet worden verdeeld?
In de verhouding 4 : 2 (op basis van de gewonnen spelletjes) of in de verhouding 1 : 3
(op basis van de nog te winnen spelletjes) of nog anders?
Deze 2 problemen hebben een briefwisseling teweeg gebracht tussen Blaise Pascal (16231662) en Pierre de Fermat (1601-1665).
In 1654 publiceerde Pascal zijn “Traité du triangle arithmétique” met daarin de bekende
driehoek van Pascal. Hij verdiende ook zijn sporen in de projectieve meetkunde
(stelling van Pascal) en in de Natuurkunde (luchtdruk in hPa).
Op zijn 20e maakte hij een rekenmachine voor zijn vader Etiènne Pascal,
belastinginner (naar Etiènne Pascal is de slaklijn of duivelskromme genoemd).
Het laatste deel van zijn leven concentreerde hij zich op filosofie en religie.
Hij schreef “Lettre provinciales” en “Pensées”.
Ook Christiaan Huygens (1629 – 1695), http://nl.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygens
verdiepte zich in de dobbel- en kaartspelen. Zijn belangstelling hiervoor werd gewekt tijdens
een verblijf in Parijs in 1656. Daar maakte hij kennis met de vraagstukken van de Méré en de
overdenkingen van Pascal en Fermat. Onduidelijk is wat Huygens zelf heeft bedacht en wat
hij heeft overgenomen van Pascal en Fermat. De tekst werd door zijn professor Frans van
Schooten jr. (1615-1660) in het Latijn vertaald en in 1657 gepubliceerd onder de titel
“De ratiociniisin ludo aleae” (Over de berekening in kansspelen) als onderdeel van
Van Schootens “Exercitationum mathematicorum libri quinque” (vijf boeken met wiskundige
oefeningen), dat in 1660 eveneens in het Nederlands is vertaald.
In zijn “Van Rekeningh in spelen van geluck” gaat hij diep in op het partijenvraagstuk (hoe de
inzet te verdelen bij voortijdig afbreken van een spel). Het is Pascal geweest die voorstelde
om daarbij uit te gaan van de theoretische kansverdeling van het verdere verloop van het
spel. Huygens benoemt dit in zijn inleiding als eerlijk spel. Voor een bespreking van zijn
voorstellen (die feitelijk min of meer stellingen zijn): zie bijlage.
Versie 1.0
blz. 31 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
Jakob Bernoulli (1654-1705) schreef de “Ars conjectandi” (de kunst van het werpen), wat
geldt als één van de belangrijkste werken in de geschiedenis over kansrekening.
De oudste zoon van zijn broer Johann I Bernoulli (1667-1748) heette Nicolaus II Bernoulli
(1695-1726) en is beroemd geworden door de Petersburger paradox, genoemd naar de stad
waar hij hoogleraar was. Deze paradox luidt als volgt:
A en B spelen een spel met een zuivere munt. A begint met werpen; het spel is
afgelopen zodra A kop gooit. Gooit A meteen kop, dan ontvangt hij 1 roebel van B.
Gooit hij kop bij de tweede keer, dan ontvangt hij 2 roebel, bij de derde keer 4 roebel,
bij de ne keer 2n roebel.
Vraag: wat is nu een eerlijke inzet van A bij dit spel?
Het blijkt dat geen enkele inzet opweegt tegen de exponentiële groei van de winst.
George Louis Leclerc Comte de Buffon (1707-1788) introduceerde het begrip geometrische
waarschijnlijkheid en bracht de differentiaal- en integraalrekening binnen de
waarschijnlijkheidsrekening. In “Mémoire sur le jeu du franc-carreau” beschrijft hij het spel
franc-carreau, waarbij een munt op een schaakbord wordt geworpen. Ligt de munt binnen
één veld, dan wint speler A, anders speler B. De winstkansen van A en B hangen af van de
grootte van de munt en de grootte van de velden.
De naalden van Buffon is een ander bekend kansexperiment waarmee je  kunt benaderen.
Zie http://www.cut-the-knot.org/fta/Buffon/buffon9.shtml
Versie 1.0
blz. 32 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
4.2 Niet-euclidische meetkunde
De Euclidische meetkunde is gebaseerd op axioma’s en postulaten van Euclides
(ca. 300 v. Chr.) en kenmerkt zich door een deductieve opbouw. Pas in de 17e eeuw werd de
algebra ingeschakeld door mensen als Fermat en Descartes (cartesische coördinaten) en
ontstond de analytische meetkunde of coördinatenmeetkunde. Eveneens werd de
differentiaal- en integraalrekening uit de analyse geïntegreerd.
Met heeft eeuwenlang geprobeerd het vijfde postulaat (parallellenpostulaat) van Euclides te
bewijzen uit de eerste vier, maar stuitte daarbij steeds op een aanname die gelijkwaardig was
aan de aanname in het vijfde postulaat zelf. De postulaten:
1. Twee punten kunnen door een rechte lijn met elkaar worden verbonden.
2. Een lijn kan naar twee kanten onbeperkt continu worden uitgebreid.
3. Met elk punt en elke afstand kan een cirkel worden beschreven.
4. Alle rechte hoeken zijn gelijk.
5. Als een lijn twee andere lijnen zodanig snijdt dat de binnenhoeken aan één kant
samen kleiner zijn dan twee rechte hoeken, dan snijden deze lijnen elkaar aan de
kant van deze binnenhoeken.
Alternatieven voor het vijfde postulaat:
a. De afstand tussen twee evenwijdige lijnen is constant.
b. De som van de hoeken van een driehoek is gelijk aan twee rechte hoeken.
c. Bij iedere driehoek is een gelijkvormige driehoek waarvan de zijden een willekeurige
verhouding met de zijden van de oorspronkelijke driehoek hebben.
d. Door een gegeven punt buiten een lijn m kan precies één lijn worden getrokken die
evenwijdig is met de lijn m.
Deze laatste formulering staat bekend als het axioma van “Playfair”.
Girolamo Sacchari (1667-1733) probeerde vanuit een tegenspraak het vijfde postulaat te
bewijzen. Hij maakte daarbij gebruik van een Sacchari-vierhoek: een vierhoek waarbij 2
zijden gelijk zijn en loodrecht staan op een derde zijde. Via gelijkvormigheid van driehoeken
kwam hij tot de volgende hypothesen:
a. De overige 2 hoeken zijn recht
b. De overige 2 hoeken zijn scherp
c. De overige 2 hoeken zijn stomp.
Hij was in staat om de laatste bewering te weerleggen. De eerste bewering is gelijk aan het
vijfde postulaat. De bewering dat de overige 2 hoeken scherp konden zijn, leek hem zo
onwaarschijnlijk dat hij deze ten onrechte ook verwierp. Dit betekent dat de som van de
hoeken van een driehoek kleiner of gelijk is aan 180o. Echter: in een meetkunde die waarbij
de som van de hoeken van een driehoek kleiner is dan 180o bestaan geen rechthoeken.
De ontdekking van de niet-euclidische meetkunde wordt toegeschreven aan de Russiische
wiskundige Nikolai Lobachevski (1793-1856) en de Hongaarse militair János Bolyai (18021860). Carl Friedrich Gauss (1777-1855) was echter ook al tot conclusie gekomen dat er een
niet-euclidische meetkunde moest bestaan.
Uitgangspunt van Lobachevski en Bolyai was de hypothese van de scherpe hoek i.p.v. het
parallellenpostulaat, waarmee zij een groot aantal stellingen bewezen zonder een
tegenspraak tegen te komen. Deze zogenaamde hyperbolische meetkunde of
meetkunde van Lobachevski bevatte als vijfde postulaat:
Door een punt buiten een lijn m zijn er minstens twee lijnen evenwijdig aan m.
Een meetkunde gebaseerd op de 1e 4 postulaten van Euclides heet een absolute meetkunde.
Door Bernhard Riemann (1826-1866) werd, na een kleine wijziging van Euclides 2e postulaat, de
elliptische meetkunde opgebouwd. Hierin bestaan geen evenwijdige lijnen en is de som van de
hoeken van een driehoek juist groter dan 180o.
Versie 1.0
blz. 33 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
4.3 Georg Cantor
Georg Cantor (1845-1918) wordt gezien als de grondlegger van de verzamelingenleer en
kwam tot enkele verrassende inzichten. Hij noemde twee verzamelingen waartussen een
bijectie bestaat equivalent (tegenwoordig ook wel “gelijkmachtig” of “same cardinality”).
De verzameling N van natuurlijke getallen noemen we aftelbaar (oneindig). Elke verzameling
A die equivalent is met N heet ook aftelbaar. N en A hebben evenveel elementen. We
noteren dit met N^ A .
Stelling C1: N en Z hebben evenveel elementen.
Bewijs: We definiëren een functie f die bijectief is van N naar Z en kunnen daaruit
concluderen dat N en Z equivalent zijn. Bijvoorbeeld:
f (0)  0, f (1)  1, f (2)  1, f (3)  2, f (4)  2, f (5)  3, f (6)  3, ...
Deze functie is zowel injectief als surjectief. Dus N^ Z .
Stelling C2: N^ Q .
Bewijs: Maak een oneindige tabel die alle breuken bevat, behalve 0. Geef iedere breuk op
een systematische wijze een rugnummer, te beginnen met 1. Geef het getal 0 rugnummer 0.
Stelling C3: het open interval <0,1> is niet aftelbaar.
Bewijs vanuit het ongerijmde: Stel dat we alle getallen tussen 0 en 1 wel kunnen opsommen.
Dan kiezen we de 1e decimaal verschillend van de 1e decimaal van het 1e getal in de
opsomming, de 2e decimaal verschillend van het 2e decimaal van het 2e getal enz.
Uiteindelijk krijgen we dan een getal dat nog niet voorkomt in de opsomming. Kennelijk
hadden we dus nog niet alle getallen opgesomd. Tegenspraak. QED.
Een verzameling die niet aftelbaar is, noemen we overaftelbaar.
Uit stelling C3 volgt dat R overaftelbaar is.
Stelling C4: De vereniging van 2 aftelbare verzamelingen is weer aftelbaar.
Bewijs: geef de elementen van verzameling A rugnummers 0, 2, 4 enz. en van verzameling B
rugnummers 1, 3, 5 enz. We hebben nu een bijectie van N naar A  B geconstrueerd.
De verzameling van irrationale getallen is ook overaftelbaar.
Bewijs vanuit tegenspraak: Stel dat R \ Q aftelbaar is. Dan is R \ Q  Q ook aftelbaar als
gevolg van stelling C4. Maar R is overaftelbaar, dus tegenspraak. QED.
De reële getallen bestaan uit algebraïsche en transcendente getallen.
Joseph Louiville (1852-1939) toonde in 1844 aan dat het getal

1
 10
k 1
k!
=0,110001000000000000000001000000… onmogelijk een oplossing kan zijn van
een n-de graads vergelijking met rationele coëfficiënten.
Pas in 1873 bewees Hermite (1822-1901) dat het getal e transcendent is en in 1882 toonde
Ferdinand von Lindemann (1852-1939) aan dat  transcendent is.
Cantor toonde aan dat de transcendente getallen overaftelbaar zijn, door aan te tonen dat de
algebraïsche getallen aftelbaar zijn.
Cantor ging nog een stap verder door kardinaalgetallen te definiëren.
4.4 De laatste stelling van Fermat
Komt bij de lesdag geschiedenis aan de orde. Zie ook het boekje uit de Zebra reeks.
Versie 1.0
blz. 34 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
Bijlage: bespreking voorstellen Christiaan Huygens
Voorstel 1
Als ik gelijke kans heb op a of b, is mij dit
ab
waard.
2
Spelverloop: stel ik heb gelijke kans om 3 of 7 te krijgen. Dan is mij dit 5 waard.
Als wij beiden nu 5 inzetten, ligt er 10 in de pot. Bovendien spreken we af om de verliezende
partij 3 te geven. Dus als ik verlies, ontvang ik 3 van mijn tegenstander. Maar als ik win,
ontvang ik 10 uit de pot, waarvan ik 3 aan de tegenstander moet geven. Blijft over 7.
Stel nu in de inzet op x. Dan krijg ik bij verlies a en als ik win 2x-a = b. Dus x 
Voorstel 2
Als ik gelijke kans heb op a of b of c, dan is mij dit
ab
.
2
abc
waard.
3
Stel weer de inzet op x. Met de ene tegenstander spreek ik af om de verliezende partij b te
geven, met de andere tegenstander om de verliezende partij c te geven.
Ik ontvang dan ofwel b, ofwel c ofwel 3x-b-c = a en dit geeft x 
abc
.
3
Voorstel 3
Als ik p kansen heb om a te krijgen en q kansen om b te krijgen, dan is mij dit
pa  qb
waard
pq
(voorwaarde: kansen zijn allemaal aan elkaar gelijk, bv. gooien met zuivere dobbelsteen).
Stel weer de inzet op x. Neem nu in totaal p + q spelers, dus de totale inzet is px+qx. Met
ieder van de q spelers spreek ik af dat de verliezende partij b ontvangt. Met de rest van de p
spelers spreek ik af dat de verliezende partij a ontvangt. Nu heb ik q kansen om b te krijgen,
p-1 kansen om a te krijgen en 1 kans om px+qx-bp-ap+a = a te krijgen. Dus x 
pa  qb
.
pq
Voorstel 4
Stel ik speel om 3 gewonnen spellen en ik heb er al 2 gewonnen tegen de ander 1.
Als we stoppen met spelen, hoe moet dan de inzet worden verdeeld?
Hiervoor moeten we kijken naar hoe de kansen bij het verdere spelverloop zouden zijn.
Daarbij blijkt dat ik ½ + ½*½ = ¾ kans heb om te winnen tegen de ander 0 + ½*½ = ¼ .
Als dus iemand mijn spel wil overnemen, dient hij mij ¾ van de inzet te betalen.
Voorstel 5
Stel er ontbreekt mij 1 spel om te winnen en bij de ander ontbreken 3 spelen.
Als we stoppen met spelen, hoe moet nu de inzet worden verdeeld?
Ik heb nu ½ + ½*½ + ½*½ *½ = 7 8 kans om te winnen tegen de ander 0 + 0+ ½*½*½ =
1
8
Voorstel 6
Als bij mij 2 spelen ontbreken om te winnen en bij de ander ontbreken er 3 spelen.
Als ik het eerste spel zou winnen, ontstaat voorstel 5, dus een kans van 7 8 .
Als ik het eerste spel verlies, zijn de kansen voor beide gelijk geworden, dus ½ .
Omdat ik gelijke kansen heb om te winnen of verliezen bij het eerste spel, is de totale kans
7
om te winnen dus
Versie 1.0
8
 12 11
 .
2
16
blz. 35 van 38
.
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
Voorstel 7
Als bij mij 2 spelen ontbreken en bij de ander ontbreken er 4 spelen.
Als ik het eerste spel win, moet ik nog 1 spel tegen 4 spelen winnen.
Als ik het eerste spel verlies, moet ik nog 2 tegen 3 spelen winnen.
Ik heb dus gelijke kansen op 1516 of 1116 , dus 1316 .
Voorstel 8
Drie personen spelen samen. Bij de eerste ontbreekt 1 spel, bij de tweede ook 1 en bij de
derde 2 spelen.
De kans dat de eerste wint bij het eerste spel is 1 3 .
De kans dat de eerste wint als de tweede wint bij het eerste spel is 0.
De kans dat de eerste wint als de derde wint bij het eerste spel is 1 9 .
Totale kans voor de eerste is 4 9 . De totale kans voor de tweede is ook 4 9 . Blijft als totale
kans om te winnen voor de derde over 1 9 .
Voorstel 9
Om van zoveel spelers, ieder met meer of minder ontbrekende spelen, te bepalen wat zijn
rechtmatige deel van de inzet zou zijn, moet bepaald worden wat de verschillende verlopen
van het spel kunnen zijn. Vervolgens moet van iedere speler bepaald worden wat zijn kans bij
elk spelverloop is om te winnen. Deze kansen moeten opgeteld worden om op de totale kans
uit te komen voor de betreffende speler.
Vervolgens gaat dit voorstel verder met het feit dat er bij n dobbelstenen 6n mogelijke
uitkomsten zijn, waarbij de som van het aantal ogen in een tabel kan worden geordend.
Voorstel 10
De kans om in één worp 6 te gooien is 1 6 .
De kans om in twee worpen tenminste 1 keer één 6 te gooien, is 1 6  5 6  1 6  1136 .
De kans om in drie worpen tenminste 1 keer één 6 te gooien, is 1 6  5 6  1 6  5 6  5 6  1 6  91 216 .
Voorstel 11
Hoeveel worpen kan men accepteren om met 2 dobbelstenen 2 zessen te werpen? Oftewel:
wanneer is met 2 dobbelstenen de kans op tenminste 2 zessen groter dan maximaal 1 zes?
De kans om in 1 worp 2 zessen te gooien is 1 36 tegen 35 36 om te verliezen.
De kans om in 2 twee worpen 2 zessen te gooien is 1 36  35 36  1 36  711296 .
De kans om in 4 worpen 2 zessen te gooien is 711296  12251296  711296  1789911679616
De kans om in 8 worpen 2 zessen te gooien is …
De kans om in 16 worpen 2 zessen te gooien is …
Combineren: de kans om in 25 = 8 + 16 + 1 worpen 2 zessen te gooien is groter is dan ½.
Voorstel 12
Hoeveel stenen kan men accepteren om 2 zessen te werpen? Oftewel:
wanneer is met 1 dobbelsteen de kans op tenminste 2 zessen groter dan maximaal 1 zes?
De kans om in 2 worpen 2 zessen te gooien is 1 6  1 6  1 36 .
De kans om in 3 worpen 2 zessen te gooien is 1 6  1 6 1  1 6  5 6  1 6  5 6  1 6  1 6  2 27 .
Op deze wijze vinden we dat bij 10 worpen de kans op 2 zessen groter is dan ½ .
Versie 1.0
blz. 36 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
Voorstel 13
Ik speel tegen een ander met 2 dobbelstenen. Ik win als er 7 ogen boven komen, de ander
wint als er 10 ogen boven komen. Bij ieder ander aantal ogen verdelen we de inzet gelijk.
Welk deel van de inzet komt ons toe?
Er zijn 6 mogelijkheden uit 36 om 7 te gooien, tegen 3 uit 36 om 10 te gooien. Blijven over 27
mogelijkheden op gelijkspel.
Bij winst heb ik 6 tegen 3 kans om te winnen, dus 9 mogelijkheden met 2 3 kans om te
winnen. De overige 27 mogelijkheden hebben een kans van ½. Dus komt mij in totaal 13 24
van de inzet toe, tegen 11 24 voor de ander.
Voorstel 14
Ik speel met een ander om de beurt met 2 dobbelstenen. Ik win zodra er 7 ogen boven
komen en de ander zodra er 6 ogen boven komen, onder de voorwaarde dat de ander als
eerste mag gooien. Hoe verhouden zich onze kansen?
Er zijn 5 mogelijkheden uit 36 om 6 te gooien, tegen 6 uit 36 om 7 te gooien. Blijven over 25
mogelijkheden.
Als de ander begint, heeft hij een kans van 5 36 om te winnen. Ik heb 31 36 kans om verder te
mogen spelen. Als ik vervolgens gooi, heb ik een kans van 6 36 om te winnen en heeft de
ander 30 36 kans om verder te mogen spelen. Onze kansen verhouden zich dus als 31 : 30.
Huygens lost dit probleem op door de verwachting van mij aan het begin van het spel gelijk te
stellen aan x en de verwachting op het moment dat de ander mag spelen gelijk aan y.
In het begin is x = 31y/36. Als ik dan mag werpen heb ik een kans van (6a + 30x)/36 = y.
Dus (6a + 30x)/36 = 36x/31, oftewel x = 31a/61.
Toegevoegde voorstellen
De toegevoegde voorstellen zijn bedoeld als opgaven voor de lezer. Hiervan heeft Huygens
alleen de antwoorden vermeld, zonder een toelichting op de berekeningswijze. Deze
toegevoegde voorstellen hebben aanleiding gegeven tot forse wiskundige discussies.
Jakob Bernoulli (1654-1705) geeft in de “Ars conjectandi” een volledige uitwerking van deze
vraagstukken.
Toegevoegd voorstel 1
A en B spelen tegen elkaar met 2 stenen, onder de voorwaarde dat A zal winnen als hij 6
ogen gooit en B zal winnen als hij 7 ogen gooit. A werpt als eerste, daarna doet B 2 worpen,
A weer 2 worpen enz. tot er een winnaar is. Hoe verhouden zich de kansen van A en B?
Dit voorstel borduurt voort op voorstel 14 en is oplosbaar door een stelsel van 4
vergelijkingen met 4 onbekenden op te stellen.
Toegevoegd voorstel 2
Drie spelers A, B en C spelen met 1 schijven, waarvan er 4 wit zijn en 8 zwart, onder de
voorwaarde, dat diegene van hen die blindelings eerst een witte schijf gekozen heeft zal
winnen. A neemt de eerste schijf, dan B, dan C, dan weer A enz. Hoe verhouden zich hun
kansen?
Van deze opgave zijn twee verschillende interpretaties mogelijk:
1. De schijven worden na iedere trekking weer teruggelegd.
Op te lossen volgens voorstel 8.
2. De schijven worden na trekking niet teruggelegd.
De oplossing is door een stelsel met 3 recursieve formules op te stellen en dit door te
rekenen tot n = 8.
Versie 1.0
blz. 37 van 38
Uittreksel Geschiedenis van de Wiskunde
Toegevoegd voorstel 3
A wedt tegen B dat hij uit 40 kaarten (10 van ieder soort) er 4 zal trekken zodat hij er van
ieder soort één zal hebben.
Op te lossen door het aantal juiste mogelijkheden (104) te delen door het totaal aantal
 40 
 = 91390.
4 
mogelijkheden om 4 kaarten uit 40 kaarten te trekken: 
Toegevoegd voorstel 4
Situatie van toegevoegd voorstel 2. A wedt tegen B dat hij blindelings 7 schijven zal kiezen
en dat hieronder 3 witte zullen zijn. Wat is zijn kans om te winnen?
 4  8   4  8 
     
 3  4    4  3   4  70  56  336
792 792 792
12 
12 
 
 
7 
7 
Toegevoegd voorstel 5
A en B hebben elk 12 penningen en spelen met 3 dobbelstenen onder voorwaarden: als er
11 ogen geworpen worden, dan moet A een penning aan B geven; als er 14 ogen geworpen
worden, dan moet B een penning aan A geven. Degene die het eerst alle penningen heeft
gekregen is winnaar.
Als A 23 penningen heeft, heeft hij 15 kansen om de inzet a te winnen.
Als B 23 penningen heeft, heeft hij 27 kansen om de inzet a te winnen.
Als beide spelers starten met 12 penningen, zullen hun kansen zich verhouden als
1512 : 2712  512 : 912 
Versie 1.0
244140625
.
282429536481
blz. 38 van 38