1.Reële getallen

1.Reële getallen
1.1
, , ,  is een geordend veld
1. x, y 
: x y
:  x  y  z  x   y  z
2. x, y, z 
3. 0 
en x 
4. x 
: x0  0 x  x
: x  x  x  x  0
:  x
5. x, y 
:x y  y x
6. x, y 
: x. y 
7. x, y, z 
:  x. y  .z  x.  y.z 
8. x, y, z 
: x.  y  z   x. y  x.z
9. 1 
en x 
10. x 
0
: x 1 
11. x, y 
12. x 
: x.x 1  x 1.x  1
0
: x. y  y.x
:x x
13. x, y 
:x y y x x y
14. x, y, z 
15. x, y 
:x y y z x z
:x y y  x
16. x, y, z 
17. x, y 
: x.1  1.x  x
:x y  xz  yz

0
: x. y 

0
1.2 Boven- en ondergrenzen van een deelverzameling van
p  max V  p V   x V : x  p 
q  min V  q V   x V : q  x 
b  supV   

0
: x  V : b    x  b
a  inf V   

0
: x  V : a  x  a  
Formularium wiskunde KAM
analyse 1
1.3 Absolute waarde
x 
Definitie: 
x 

: x x

: x  x
Eigenschappen:
x, y 
x y  x  y

: x  y  x  y

 x. y  x . y
x
x

y
y
x 
: y 
x 
: m  Z : x m  x
0
:
m
1.4 Uitgebreide reële rechte

 ,  en x 
:   x  
Rekenregels:
 x        x  
:
 x        x  
        
        
1)
x 
2)
x 

0
 x.        .x  
:
 x.        .x  
 x.        .x  
:
 x.        .x  
   .    
x 

0
   .    
   .       .    
onbepaald:

Formularium wiskunde KAM
en
0.
analyse 2
2.Reële functies
2.1 Definities
Een reële functie f is een relatie van
naar , waarbij elk element van hoogstens één
beeld heeft. Deze relatie wordt bepaald door het functievoorschrift y  f  x  .
Een reële functie f is een afbeelding als elk element van
precies één beeld heeft.
Een afbeelding is een injectie als elk element van het beeld is van ten hoogste één element
van .
Een afbeelding is een bijectie als elk element van
het beeld is van precies één element van
.

domein van een reële functie: dom f = x 
f  x  bestaat in
beeld van een reële functie: bld f =  f  x  x  dom f 


de verzameling van de nulwaarden van een reële functie = x 

f  x  0
grafisch: abscis van elk snijpunt van de grafiek van f met de x-as
Formularium wiskunde KAM
analyse 3
2.2 Bewerkingen
 f  g  x   f  x   g  x 
 k. f  x   k. f  x  met k 
 go f  x   g  f  x  
2.3 Inverse functie
als f 
 x, y  
  y, x  
2

y  f  x  functie
dan f 1
2

y  f  x  omgekeerde functie is algemeen een relatie
-1
grafiek van f bekomt men door de grafiek van f te spiegelen om de eerste bissectrice
2.4 Eigenschappen
f is een even functie  x  dom f :  x  dom f  f   x   f  x 
f is een oneven functie  x  dom f :  x  dom f  f   x    f  x 
De grafiek van een even functie t.o.v. een rechthoekig assenstelsel heeft y als symmetrieas.
De grafiek van een oneven functie heeft de oorsprong als symmetriemiddelpunt.
f is een periodieke functie
 P 

0
: k  Z : x  dom f : x  kP  dom f  f  x  kP   f  x 
2.5 Overzicht van de reële functies
eerstegraadsfunctie f  x   ax  b met a 
nulwaarde x  
0
,b 
b
a
grafiek: rechte
tweedegraadsfunctie f  x   ax 2  bx  c met a 
nulwaarde(n) x 
0
, b, c 
b  
2a
grafiek: parabool
veeltermfunctie f  x   an x n  an1 x n1  ...  a2 x 2  a1 x  a0
dom f =
Formularium wiskunde KAM
analyse 4
rationale functie f  x  
dom f =
g  x
met g en h veeltermfuncties
h x
\ {nulpunten van de noemer}
ax  b
met
cx  d
vb. homografische functie f  x  

 a  b  0 ,
c0
 d
\  
 c
b
nulwaarde x  
a
grafiek: hyperbool
vb:
dom f =
irrationale functie: x komt voor onder één of meerdere worteltekens
dom f : verzameling van x-waarden zodat de wortels bestaan en noemer verschillend is
van 0
goniometrische functies
dom
bld
nulwaarden
periode
y  sin x
 1,1
k k Z
y  cos x
 1,1


  k k  Z 
2

2
2
y  tan x


\   k k  Z 
2

k k Z

y  cot x
\ k k Z


  k k  Z 
2


\ 1,1
geen
2
\ 1,1
geen
2
y  sec x
y  cosec x


\   k k  Z 
2

\ k k Z
Formularium wiskunde KAM
analyse 5
grafieken:
Formularium wiskunde KAM
analyse 6
cyclometrische functies
dom
y  Bgsin x
 1,1
y  Bgcos x
 1,1
y  Bgtan x
y  Bgcot x
beeld
  
 2 , 2 


0, 
  
 2 , 2 


0, 
nulwaarden
0
1
0
geen
grafieken:
Formularium wiskunde KAM
analyse 7
3.Continuïteit
3.1 Grafische definitie
f is continu in a

- op de grafiek van f bestaat een punt  a, f  a  


- de grafiek vertoont in het punt  a, f  a   geen verticale sprong
3.2 Omgevings- en     definitie
f is continu in a  dom f
 U V f  a  : V Va : f  V   U
  :  : x  dom f : x  a    f  x   f  a   
Formularium wiskunde KAM
analyse 8
3.3 Links- en rechtscontinuïteit
f is linkscontinu in a  dom f
  :  : x  dom f : a    x  a  f  x   f  a   
f is rechtscontinu in a  dom f
  :  : x  dom f : a  x  a    f  x   f  a   
f continu in a  dom f
 f is linkscontinu in a  dom f  f is rechtscontinu in a  dom f
4.Limieten
4.1     definities
Gegeven is een functie f en een ophopingspunt a van haar domein (d.w.z. dat elke omgeving
van a ten minste één punt van dom f bevat dat verschilt van a).
lim f  x   b
xa
  :  : x  dom f : 0  x  a    f  x   b  
lim f  x   b
xa

  :  : x  dom f : a  x  a    f  x   b  
lim f  x   b
xa

  :  : x  dom f : a    x  a  f  x   b  
4.2
Stellingen
1) Als linker en rechter limiet in a bestaan, dan geldt:
de limiet van f in a bestaat enkel en alleen indien de linker en de rechter limiet van f in a
gelijk zijn.
2) Als of de linker of de rechter limiet in a bestaat, dan bestaat de limiet in a en is deze gelijk
aan de linker of rechter limiet in a.
Formularium wiskunde KAM
analyse 9
4.3 Limieten in  en oneigenlijke limieten
lim f  x   b
x 
  : P : x  dom f : x  P  f  x   b  
lim f  x   b
x 
  : P : x  dom f : x   P  f  x   b  
lim f  x   
xa
 Q :  : x  dom f : 0  x  a    f  x   Q
lim f  x   
xa
 Q :  : x  dom f : 0  x  a    f  x   Q
lim f  x   
x 
 Q : P : x  dom f : x  P  f  x   Q
lim f  x   
x 
 Q : P : x  dom f : x  P  f  x   Q
lim f  x   
x 
 Q : P : x  dom f : x   P  f  x   Q
lim f  x   
x 
 Q : P : x  dom f : x   P  f  x   Q
4.4 Hoofdeigenschap:
f is continu in a  lim f  x   f  a 
x a
Gevolgen:
1)
2)
3)
Formularium wiskunde KAM
lim C  C
xa
lim x  a
xa
 
f continu in a  lim f  x   f lim x
xa
xa
analyse 10
5.5 Berekenen van limieten
als het rechter lid van de volgende gelijkheid zin heeft, dan bestaat ook de limiet in het linker lid
en dan geldt de gelijkheid:
lim  f  x   g  x    lim f  x   lim g  x 
xa
x a
x a
lim  f  x  .g  x    lim f  x  . lim g  x 
xa
x a
n
lim  f  x     lim f  x  
 x a

xa
x a
n
n 
0

lim n f  x   n lim f  x 
xa
lim
xa
xa
f  x
g  x

lim f  x 
x a
lim g  x 
x a


lim an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0  lim an x n
x 
an x  an 1 x
n
lim
x  b x m
m
n 1
 ...  a1 x  a0
 bm 1 x m 1  ...  b1 x  b0
x 
 lim
an x n
x  b x m
m
sin x
1
x
tan x
lim
1
x 0 x
lim
x 0
5.Asymptoten
VA : x  a met lim f  x    (bij rationale functies is a nulpunt van de noemer)
x a
ligging: tekenonderzoek van f
HA : y  b met b  lim f  x  
x
ligging: tekenonderzoek van v  x   f  x   b

f  x
 0
m  xlim
 x
SA : y  mx  q met 
q  lim  f  x   mx  


x 

ligging: tekenonderzoek van v  x   f  x   mx  q
Formularium wiskunde KAM
analyse 11
6.Afgeleiden
6.1 Afgeleid getal: definitie en meetkundige betekenis
f '  a   Df  a   lim
f  a  h  f a
h 0
of
f '  a   lim
h
f  x  f a
x a
xa
notatie: f '  x   Df  x  
 r.c. van de raaklijn t in  a, f  a   aan y  f  x 
df  x 
dx
(Leibniz)
6.2 Afgeleide functie
f ':

: x  f ' x
6.3 Verband continuïteit - afleidbaarheid
f differentieerbaar in a  f continu in a
6.4 Rekenregels
DC  0 met C  constante
q 
0
: Dx q  q.x q 1
in het bijzonder:
D x
r  : D(r. f )  r.Df
 q  1
Dx  1
1
2 x
1
1
D  2
x
x
1

q  
2

 q  1
D( f  g )  Df  Dg
D( f .g )  Df .g  f .Dg
D( f .g.h)  Df .g.h  f .Dg.h  f .g.Dh
f g.Df  f .Dg
D 
g
g2
D sin x  cos x
D cos x   sin x
1
D tan x 
cos2 x
Formularium wiskunde KAM
analyse 12
D cot x  
1
sin 2 x
D Bgsin x 
1
D log a x 
1
x. ln a
1  x2
1
D Bgtan x 
1  x2
1
x
x
x
Da  a . ln a
De x  e x
D ln x 
Kettingregel: D  g o f
 x   Dg  f  x   .Df  x 
7.Toepassingen van afgeleiden
7.1 Vergelijking van de raaklijn t
in een punt (a,f(a)) van de kromme y=f(x) aan die kromme:
t : y  f  a   f '  a  x  a 
7.2 Vergelijking van de normaal n
in een punt (a,f(a)) van de kromme y=f(x) aan die kromme:
n : y  f a  
1
 x  a
f 'a
7.3 Regel van l’Hospital
Als f  a   g  a   0 of f  a   g  a   , en f en g zijn differentieerbaar in a, dan
lim
x a
f a
g a
 lim
x a
Formularium wiskunde KAM
f ' a 
g ' a 
analyse 13
8.Verloop van functies
8.1 Betekenis van de eerste afgeleide
Als f continu in  a, b  :
f '  x   0 in a, b  f constant in  a, b 
 
dalend in  a, b   
f '  x   0 in a, b  f stijgend in  a, b 
f '  x   0 in a, b  f
Als f continu in a en differentieerbaar in V \ a :
V Va 
f '  x  verandert van teken in a  f bereikt extremum in a
f '  x1   0  t x
 HR 
f continu is in x1  lim f '  x     t y
x  x1
VR 
linkerafgeleide  rechterafgeleide  2 verschillende raaklijnen
8.2 Betekenis van de tweede afgeleide
Als f continu in  a, b  en tweemaal differentieerbaar in a, b :
f "  x   0 in a, b  K holle zijde naar boven
f "  x   0 in a, b  K holle zijde naar onder


Als f continu in a en tweemaal differentieerbaar in V \ a :
f "  x  verandert van teken in a  K heeft een buigpunt in a
Formularium wiskunde KAM
analyse 14
9.Rijen
9.1 Definitie
Een rij is een functie van
naar
: f:
: n  f  n

Notatie: u1 , u2 , u3 ,..., un ,...
9.2 Partieelsom
n
sn  u1  u2  ...  un   ui
i 1
9.3 Bijzondere rijen
1) Rekenkundige rij
definitie: Een rij is een RR  n 
algemene term: un  u1   n  1 v
partieelsom: sn 
0
: un 1  un  v (constant verschil)
n
 u1  un 
2
2) Meetkundige rij
definitie: Een rij is een MR  n 
0
:
un1
 q un  u1q n1
un
algemene term: un  u1.q n1
partieelsom: sn  u1
1  qn
1 q
3) Harmonische rij
1 1
1
defintie: 1, , ,..., ,... is de HR
2 3
n
4) Fibonnacci rij

u1  u2  1
definitie: 

n  / 0,1, 2 : un  un 2  un 1
9.4 Limiet van de rij met un  a n :
a  1,  : lim a n  
n 
a  1,1 : lim a n  0
n
n
a  1: lim a  1
n 
a  , 1 : lim a n bestaat niet
n 
Formularium wiskunde KAM
analyse 15
9.5 Convergentie en divergentie
De rij un  is convergent  lim un 
n
De rij un  is divergent  lim un   of bestaat niet
n
Een rekenkundige rij met v  0 is divergent.
Een meetkundige rij is convergent  1  q  1
De harmonische rij is convergent.
Convergentiekenmerk voor rijen:
- een naar boven begrensde stijgende rij is convergent
- een naar onder begrensde dalende rij is convergent
9.6 Het getal e
x
1
 1
e  lim 1    lim 1  z  z
x 
x  z 0
10.Reeksen
10.1 Definitie
Voor een gegeven rij un  vormen we de rij sn  met
n
sn   u k
k 1
De rij sn  noemen we een reeks behorend bij de gegeven rij un  .
Deze reeks noteren we:

 uk  u1  u2  ...  un  ...
k 1
10.2 Convergentie en divergentie
1) Definitie

 uk
k 1
is convergent met reekssom s  lim sn  s 
Formularium wiskunde KAM
n 
analyse 16
2) Convergentie en divergentie van enkele bijzondere reeksen
Een rekenkundige reeks met

 u1  v  0  is divergent.
Een meetkundige reeks is convergent   u1  0  q  1  u1  0
Reekssom van een meetkundige reeks: s 
u1
1 q
De harmonische reeks is divergent.
3) Stellingen
- het convergentiegedrag van een reeks wordt niet beïnvloed als we een eindig aantal
termen toevoegen of weglaten
- het convergentiegedrag van een reeks wordt niet beïnvloed als we elke term ervan
vermenigvuldigen met een zelfde van nul verschillende factor
- als we de overeenkomstige termen van twee convergente reeksen optellen, dan vinden
we de termen van een derde reeks die ook convergeert

 uk
-
k 1
is convergent  lim un  0
n 
lim un bestaat niet  
   uk is divergent
of verschilt van nul  k 1
als een reeks met louter positieve termen convergeert, dan convergeert ook elke
minorante reeks
als een reeks met louter positieve termen divergeert, dan divergeert ook elke
majorante reeks
0  p  1 divergent

1 
hyperharmonische reeks  p  p  1
divergent
k 1 k
 p 1
convergent

convergentiekenmerk van d’Alembert:
+
0  t  1  de reeks convergeert
u
lim n1  t 
met 
n un
t  1  de reeks divergeert
n 
-
-
10.3 Machtreeksen

Definitie: Machtreeks in x :
 ak x k
k 1
Een bijzondere limiet: x 
Formularium wiskunde KAM
xn
0
n  n !
: lim
n 
analyse 17
11.Reeksontwikkelingen
11.1 Reeks van Taylor
Als f willekeurig dikwijls differentieerbaar is in een omgeving van a
en als
n 1
x  a

n 1
lim rn 1  x   lim
. f    c   0 met c  a, x
n 
n   n  1!
dan geldt voor elke x uit deze omgeving:

f  x  
 x  a k . f  k 
k 0
k!
a
11.2 Reeks van Maclaurin
Als f willekeurig dikwijls differentieerbaar is in een omgeving van 0
x n 1
n 1
. f    x   0 met   0,1
n   n  1!
en als lim rn 1  x   lim
n 
dan geldt voor elke x uit deze omgeving:

xk  k 
. f  0
k 0 k !
f  x  
11.3 Enkele bijzondere Maclaurinreeksen

xk
voor x 
k 0 k !
Maclaurinreeks voor ex:
ex  
Maclaurinreeks voor sin x:
sin x    1 .

k
k 0

Maclaurinreeks voor cos x
cos x    1 .
k 0
Binomiale reeks:
x2k 1
voor x 
 2k  1!
k
x 2k
voor x 
 2k !
 m  m  m  1 ...  m  n  1
met   
n!
k
voor x  1,1 als m 

m k
x
k 0  k 
1  x m   
voor x  1 als m  1
voor x  1 als m  0
11.4 Formules van Euler
x  : eix  cos x  i sin x
cos x 
Formularium wiskunde KAM
eix  eix
2
sin x 
eix  eix
2i
analyse 18
12.Exponentiële en logaritmische functie
12.1 Definitie logaritme

0 , a 
x 

0
\ 1 , y 
: y  log a x  x  a y
Briggse logaritme: a  10
Neperiaanse of natuurlijke logaritme: a  e
12.2 Eigenschappen logaritme

0
a 
\ 1 : x, y 

0
: p 
:
log a x. y  log a x  log a y
log a
x
 log a x  log a y
y
log a x p  p.log a x
a, b 

0
\ 1 : c 

0
:
log a b.log b c  log a c
log a b 
1
log b a
log a c 
log b c
log b a
12.3 Exponentiële en logaritmische functie
Definitie

exp a :
log a :

0

0

: x  ax
: x  log a x
met a 

0
\ 1
Eigenschap
Exponentiële en logaritmische functie zijn elkaars omgekeerde functie.
Limieten
 als a  1
lim log a x  
x 
 als 0  a  1
 als a  1
lim log a x  
x 0
 als 0  a  1
Formularium wiskunde KAM
 als a  1
lim a x  
x 
0 als 0  a  1
0 als a  1
lim a x  
x 
 als 0  a  1
analyse 19
Grafieken: vbn
x
y  2x
1
y  
2
y  log 2 x
y  log 1 x
2
12.4 Hyperbolische functies
e x  e x
2
x
e  e x
ch x 
2
sh x
ch x
th x 
coth x 
ch x
sh x
2
2
ch x  sh x  1
sh x 
sh 2 x  2sh x.ch x
ch 2 x 
ch 2 x  1
2
Formularium wiskunde KAM
sh 2 x 
ch 2 x  1
2
analyse 20
13.Integraalrekening
13.1 Basisfomules
n
 x dx 
x n 1
C
n 1
voor n 
\ 1
 dx  x  C
1
 x dx  ln x  C
x
 a dx 
ax
C
ln a
 e dx  e  C
 sin xdx   cos x  C
 cos xdx  sin x  C
x
x
1
 cos
2
x
1
 sin

2
x
dx  tan x  C
dx  cot x  C
1
dx  Bg sin x  C
1  x2
1
 1  x 2 dx  Bg tan x  C
1
2
 x 2  k dx  ln x  x  k  C
met k 
 sh xdx  ch x  C
 ch xdx  sh x  C
1
 x  sin x.cos x   C
2
1
2
 sin xdx  2  x  sin x.cos x   C
 cos
2
xdx 
13.2 Basiseigenschappen
  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
 k. f  x  dx  k  f  x  dx
Formularium wiskunde KAM
analyse 21
13.3 Integratiemethoden
1) Substitutie: bijzondere gevallen
1
 f  ax  b  dx  a  f  ax  b  d  ax  b 
 
 f  x  dx  ln f  x   C
f' x
2) Substitutie: algemeen
3) Partiële integratie
 f  x  dg  x   f  x  .g  x    g  x  df  x 
13.4 Bepaalde integraal
1) Meetkundige betekenis
b
 f  x  dx 
a
Formularium wiskunde KAM
oppervlakte van het deel van het vlak begrensd door de kromme
y  f  x  , x-as, x  a, x  b
analyse 22
2) Berekening
b
 f  x  dx   F  x  a  F  b   F  a 
b
met F een primitieve van f
a
3) Eigenschappen
a
 f  x  dx  0
a
b
a

f  x  dx    f  x  dx
a
b
c
b
a
a
c
b
 f  x  dx  f  x  dx   f  x  dx
4) Meetkundige toepassingen
b
Oppervlakte van een deel van het vlak: S   y dx
a
b
Inhoud van een omwentelingslichaam: V    y 2 dx
a
b
Booglengte van een vlakke kromme: L   1  y '2 dx
a
b
Zijdelingse oppervlakte van een omwentelingsoppervlak: S  2  y 1  y '2 dx
a
y=f(x)
L
1
y=f(x)
a
1
b
1
1
a
Formularium wiskunde KAM
b
analyse 23
5) Numerieke integratie
 Middelpuntsregel
Principe:  a, b  opsplitsen in n deelintervallen:  x0 , x1    x1 , x2   ...   xn1 , xn  , in
elk deelinterval f  x  benaderen door f  ui  met ui het midden van xi 1 xi :
1
1
xi-1
b

f  x  dx 
a
ba n
f
n i 1
ui
xi
 xi 1  xi 


2


 Trapeziumregel
Principe:  a, b  opsplitsen in n deelintervallen:  x0 , x1    x1 , x2   ...   xn1 , xn  , in
elk deelinterval de oppervlakte begrensd door y  f  x  , x-as en intervalgrenzen, te
benaderen door de oppervlakte van een trapezium:
1
1
xi-1
b
 f  x  dx 
a
xi
ba
 y0  2 y1  2 y2  ...  2 yn1  yn 
2n
met yi  f  xi 
Formularium wiskunde KAM
analyse 24
 Regel van Simpson
Principe:  a, b  opsplitsen in een aantal even deelintervallen (n = 2m):
 x0 , x1    x1, x2   ...   xn1, xn  , in elk deelinterval de kromming van f benaderen
door een paraboolboog.
b
 f  x  dx 
a
ba
 y0  y2 m   4  y1  y3  ...  y2 m 1   2  y2  y4  ...  y2 m 2  
3n 
met yi  f  xi 
Formularium wiskunde KAM
analyse 25