Inleiding in de statistiek voor de gedragswetenschappen. Met

INLEIDING IN DE STATISTIEK VOOR
DE GEDRAGSWETENSCHAPPEN.
MET ONDERSTEUNING VAN SPSS
1
DOELSTELLINGEN:
De student kent de eigenschappen van een
normale verdeling;
De student kent de standaardnormale verdeling en
kan omgaan met Z-waarden;
De student kan – in een normale verdeling - het
verband leggen tussen proporties en Z-waarden en
omgekeerd;
De student kan deze principes toepassen in om het
even welke normale verdeling.
HOOFDSTUK VII DE NORMALE
VERDELING
F. Gauss
DE NORMALE VERDELING
• Een intervalwaarde die afhankelijke is van een oneindig
aantal factoren, die los van elkaar inwerken, zal in de
populatie een normale verdeling vertonen (Gausscurve);
bv. Intelligentie.
Gemiddelde in steekproef: X
Gemiddelde in de populatie: µ
Standaarddeviatie in de steekproef: s
Standaarddeviatie in de populatie: σ
KENMERKEN VAN DE NORMALE
VERDELING
Dergelijke verdeling heeft 1
maximum
MO = Me = Gemiddelde
-3
-2
-1
1
2
3
4
KENMERKEN VAN NORMALE VERDELING
Twee buigpunten
-3
-2
-1
1
2
3
4
KENMERKEN VAN DE NORMALE VERDELING
• Symmetrie
De
oppervlakte
links en
rechts van het
gemiddelde
zijn gelijk
(skw = 0)
• Kurtosis: kurt
=0
-3
-2
-1
1
2
3
4
KENMERKEN VAN DE NORMALE
VERDELING
• De grafische weergave van de normale
verdeling is klokvormig;
De uitslagen liggen vooral
geconcentreerd rond het gemiddelde,
naarmate scores afwijken t.o.v. het
gemiddelde wordt de frequentie kleiner.
PARAMETERS VAN DE NORMALE
VERDELING
• Gemiddelde: µ (mu)
In µ bereikt de Gausscurve zijn
maximum
• Standaarddeviatie: σ (sigma)
De twee buigpunten van de Gausscurve
bevinden zich op µ - σ en op µ + σ
Zeer belangrijk
VERDELING IN DE GAUSSCURVE
Tussen beide buigpunten bevinden zich
+/- 68% van de observaties;
Tussen µ - 2 σ en µ + 2 σ situeren zich
+/- 95% van de observaties;
Tussen µ - 3 σ en µ + 3 σ bevinden zich
+/- 99% à 100 van alle waarnemingen.
KENMERKEN VAN DE NORMALE VERDELING
• Als we van een normale verdeling het
gemiddelde en de standaarddeviatie kennen,
is deze verdeling gedefinieerd.
Notatie: (de variabele) X ~ n(µ,)
Y
De normale verdeling
Verschillende µ, zelfde 
-4
-2
0
2
4
6
8
X
Y
Verschillende , zelfde µ
-15
-10
-5
0
X
5
10
15
SPECIALE NORMALE VERDELING
• Een normale verdeling met gemiddelde nul en
standaarddeviatie 1, noemen we een
standaardnormale verdeling.
Notatie: Z ~ n(0,1)
-3
-2
-1
1
2
3
4
DE STANDAARDNORMALE VERDELING
• Vanuit de eigenschappen van de normale
verdeling kunnen we vaste relaties vinden
tussen de proportie van uitslagen en Zwaarden.
Welk is de kans om in een standaardnormale
verdeling een uitslag te vinden die groter of
kleiner is een bepaalde Z-waarde?
DE STANDAARDNORMALE
VERDELING
• Eerste geval: Z is positief.
Hoeveel percent van de scores verwachten
we beneden deze Z-waarde?
In dat geval kunnen we het percentage
aflezen uit de tabel, bv. Z = 1
-3
-2
-1
1
2
3
4
DE STANDAARDNORMALE
VERDELING
z
-3
-2
-1
1
2
3
4
P  Z  1  0,8413
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
0,00
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,01
0,5040
0,5438
0,5832
0,6217
0,6591
0,6950
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,8438
0,8665
0,8869
DE STANDAARDNORMALE VERDELING
• Tweede
voorbeeld.
Hoeveel % van de observaties verwacht u
in een normale verdeling beneden Z =
1,59?
P  Z  1,59   0,9441
En hoeveel observaties verwacht
u hoger dan Z = 1,59?
-3
-2
-1
1
2
3
4
DE STANDAARDNORMALE
VERDELING
• Geval twee: de Z-waarde is negatief.
Hoeveel % van de observaties liggen
in een standaard
normaal
verdeling
onder de
Z-waarde -1?
-3
-2
-1
1
2
3
4
P  Z  -1  P  Z  1
P  Z  -1  P  Z  1
-3
-2
-1
1
2
3
4
-3
P  Z  -1  P  Z  1
-2
-1
 1 - P  Z  1
1
2
 1 - P  Z  1
P  Z  -1  1 - P  Z  1
-3
-2
-1
1
2
3
4
3
4
STANDAARDNORMALE VERDELING
Methode: 1 – percentiel |Z|
P  Z  -1  1 - 0,8413  0,1587
-3
-2
-1
1
2
3
4
z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
0,00
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,01
0,5040
0,5438
0,5832
0,6217
0,6591
0,6950
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,8438
0,8665
0,8869
STANDAARDNORMALE VERDELING
• Voorbeeld 2
Hoeveel % van de uitslagen situeren zich in
een standaardnormale verdeling beneden
Z= -1,16?
P  Z  -1,16   1 - 0,8770  0,1230
Dus 12%
-3
-2
-1
1
2
3
4
STANDAARDNORMALE VERDELING
• In een standaardnormale verdeling, hoeveel
observaties situeren zich tussen twee Zwaarden?
-3
-2
-1
1
2
3
4
STANDAARDNORMALE VERDELING
• In principe maak het verschil van % beneden de
hoogste waarde, verminderd met % beneden de
laagste waarde;
Beide Z-waarden zijn positief
Concreet hoeveel % van de uitslagen verwacht
je in een standaardnormale verdeling tussen
Z = 0,5 en Z = 1,5?
P  0,5  Z  1,5 
 P  Z  1,5  - P  Z  0,5 
 0,9332 - 0, 6915  0, 2417
STANDAARDNORMALE VERDELING
• Beide Z-waarden zijn negatief
Bepaal de oppervlakte tussen Z = -1,53 en Z= 0,56
P  -1,53  Z  -0,56 
 P  Z  -0,56  - P  Z  -1,53
 1 - 0, 7123 - 1 - 0,9370  0, 2247
-3
-2
-1
1
2
3
4
STANDAARDNORMALE VERDELING
• Derde geval: 1 van beide Z-waarden is
negatief, de ander is positief. Bepaal in een
standaardnormale verdeling het aantal ppn
tussen de
Z-waarden -1,26 en 2,01
P  -1, 26  Z  2, 01
 P  Z  2, 01 - P  Z  -1, 26 
 0,9778 - 1 - 0,8962  0,8740
-3
-2
-1
1
2
3
4
DE NORMALE VERDELING
• Uitbreiding van de resultaten van de
standaardnormale verdeling naar om het even
welke normaalverdeling met µ als gemiddelde en
sigma als standaarddeviatie
bv. Hoeveel procent van de bevolking heeft een
IQ lager dan 80?
In de veronderstelling dat µ = 100 en sigma = 15
Werk het probleem eerst uit via Z-waarden en zet
deze om naar X-waarden.
DE NORMALE VERDELING
P  X  80 
80 - 100 

 P Z 

15 

 P  Z  -1,33
45
6
75
9
15
12
135
15
 1 - 0,9082  0, 0918
DE NORMALE VERDELING
• Andere vraagstuk:
Stel normale verdeling en
µ =100 en sigma = 15
Hoeveel procent van de observaties in
een normale verdeling verwacht u boven
de 130? (opl. 2%)
Opgave
Hoeveel procent van de bevolking heeft een IQ
(=X) tussen 90 en 110?
µ  100
  15
P  90  X  110 
Oplossing: 50%
Opgave
P  90  X  110 
µ  100
  15
110 - 100 
 90 - 100
 P
Z

15
 15

 P  -0, 67  Z  0, 67 
 P  Z  0, 67  - P  Z  -0, 67 
 0, 7486 - 1 - 0, 7486   0, 4972
Opgave
Hoeveel procent van de bevolking heeft een IQ (=X)
op maximaal één standaardafwijking van het
gemiddelde?
µ  100
  15
P 100 - 15  X  100  15 
OPGAVE
P 100 - 15  X  100  15
115 - 100 
 85 - 100
 P
Z

15
 15

 P  -1, 00  Z  1, 00 
 P  Z  1, 00  - P  Z  -1, 00 
 0,8413 - 1 - 0,8413  0, 6826
Belangrijk
P µ -   X  µ     0, 6826
Opgave
Hoeveel procent van de bevolking heeft een
IQ (=X) op maximaal twee
standaardafwijkingen van het gemiddelde?
µ  100
  15
P 100 - 2 15  X  100  2 15 
OPGAVE
130 - 100 
 70 - 100
 P
Z

15
 15

 P  -2, 00  Z  2, 00 
 P  Z  2, 00  - P  Z  -2, 00 
 0,9772 - 1 - 0,9772   0,9544
Belangrijk
P µ - 2  X  µ  2   0,9544
Opgave
Hoeveel procent van de bevolking heeft een
IQ (=X) op maximaal drie
standaardafwijkingen van het gemiddelde?
µ  100
  15
Belangrijk
P µ - 3  X  µ  3   0,9974
DE STANDAARDNORMALE
VERDELING
• Bepaal de Z-waarde behorende bij een
bepaald percentiel in een normale verdeling
Geval 1. Het % is groter als 0,50
Deze Z-waarde is rechtstreeks af te lezen uit
de tabel
Beneden welke Z-waarde situeert zich 87,29%
van de uitslagen?
DE STANDAARDNORMALE VERDELING
• Geval 1
-3
-2
-1
1
2
z87,29  1,14
3
4
z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
0,03
0,5120
0,5517
0,5910
0,6293
0,6664
0,7019
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,8485
0,8708
0,04
0,5160
0,5557
0,5948
0,6331
0,6700
0,7054
0,7389
0,7704
0,7995
0,8264
0,8508
0,8729
DE STANDAARDNORMALE
VERDELING
• Geval 2. De proportie is kleiner dan 50%
In dit geval verwachten we een Zwaarde die negatief is.
Bv. Beneden welke Z-waarde situeert
zich
20,05% van de observaties in een
normale verdeling?
Voorbeeld:
P=0,2005=20,05%
-3
-2
0, 7995
0, 7995
0, 2005
-1
z 20,05
1
2
3
4
-3
-2
0, 2005
-1
z 20,05  -z 79,95
z 20,05  -0,84
1
2
3
4
z 79,95
z 79,95  0,84
STANDAARDNORMALE VERDELING
• Methode voor de oplossing als het
percentage kleiner is dan 0,50
- bereken 1 – P
- zoek de Z-waarde behorende bij 1 – P
- plaats een minteken voor de gevonden
Z-waarde.
z P  -z100% - P
DE NORMALE VERDELING
• Uitbreiding naar om het even welke normale
verdeling. Beneden welke score liggen een
bepaald percentage van de observaties,
gegeven µ en gegeven sigma?
Bijvoorbeeld bepaal het IQ waarvan je weet
dat 80% van de mensen een lager IQ heeft.
Bepaal de IQ-score met percentiel 80 (m.a.w. bepaal de IQ-score
waar 80% van de bevolking onder zit)
µ  100
P  X  x 80   0,80
  15
z80  0,84
 x 80  µ  z P    100  0,84 15  112, 6
Bepaal de IQ-score met percentiel 30 (m.a.w. bepaal de IQscore waar 30% van de bevolking onder zit)
µ  100
  15
P  X  x 30   0,30
z30  -0,52
 x 30  µ  z P    100   -0,52  15  92, 2
Tussen welke IQ-scores ligt de middelste 50% van de bevolking?
µ  100
  15
P  x 25  X  x 75   0,50
z 75  0, 67

z 25  -0, 67
 x 25  100 - 0, 67 15  89,95 Q  110, 05 - 89,95  20,1
 x 75  100  0, 67 15  110, 05
Tussen welke IQ-scores ligt de middelste 90% van de bevolking?
µ  100
  15
P  x 05  X  x 95   0,90
z95  1, 645

z 05  -1, 645
 x 05  100 - 1, 645 15  75,325
 x 95  100  1, 645 15  124, 675
Tussen welke IQ-scores ligt de middelste 95% van de bevolking?
µ  100
  15
P  x 2,50  X  x 97,5   0,95
 x 2,5  100 - 1,96 15  70, 6
 x 97,5  100  1,96 15  129, 4
z97,5  1,96

z 2,5  -1,96
Wie een IQ heeft dat behoort tot de hoogste 2% van de populatie, kan lid worden van
een vereniging. Wat is het laagste IQ waarmee men nog wordt toegelaten?
µ  100
Welke Zwaarde
komt
overeen met
PC98?
  15
z98  2, 05
 x 98  100  2, 05 15  130, 75
OPGAVEN
Zie handboek
INLEIDING IN DE STATISTIEK VOOR
DE GEDRAGSWETENSCHAPPEN.
MET ONDERSTEUNING VAN SPSS
53